La bisettrice ha l'origine nel vertice e passa nel punto 3.
Assegnato il triangolo scaleno ABC
costruisci la bisettrice dell'angolo A
poi la bisettrice dell'angolo B
Anche la terza bisettrice (dell'angolo C) taglia le precedenti in O (puoi provare a costruirla).
Il punto O viene detto INCENTRO
Costruisci la perpendicolare al lato AB passante per l'INCENTRO.
Punta il compasso in O, traccia l'arco che taglia AB in 3 e 4.
Punta in 3 e poi in 4, con apertura di compasso maggiore della metà del segmento 3-4, traccia gli archi che si tagliano in 5.
Traccia la semiretta di origine O, passante per 5 che interseca il lato in F (OF è la distanza di O dal lato AB).
Punta il compasso in O, con apertura OF, traccia la circonferenza e verifica che è tangente (tocca) i tre lati.
In qualsiasi triangolo l'INCENTRO è sempre interno ed è sempre possibile tracciare la circonferenza interna tangente i tre lati.
L'INCENTRO è equidistante dai tre lati.
L'ASSE di un segmento è la retta perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio. E' l'insieme dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
Per costruire l'asse di un segmento si punta il compasso prima in A, poi in B, con apertura maggiore della metà del segmento e si tracciano due archi che si intersecano in 1 e 2.
Sia il triangolo scaleno ABC,
costruisci l'asse del lato BC che taglia il precedente in O.
Puoi verificare che anche il terzo asse (del lato AB) taglia i precedenti in O.
Il punto O è il CIRCOCENTRO del triangolo.
Punta il compasso in O, con apertura OA, traccia la circonferenza e verifica che passa in C e in B.
Il CIRCOCENTRO è equidistante dai vertici del triangolo.
AO = CO = BO
Il CIRCOCENTRO di un triangolo acutangolo è un punto interno al triangolo.
Il CIRCOCENTRO di un triangolo rettangolo coincide con il punto medio dell'ipotenusa.
Il CIRCOCENTRO di un triangolo ottusangolo è un punto esterno al triangolo.
NB per costruire il CIRCOCENTRO di un triangolo rettangolo basta costruire la perpendicolare al punto medio dell'ipotenusa.
La MEDIANA è il segmento che unisce il vertice di un triangolo al punto medio del lato opposto.
Per costruire la MEDIANA devi costruire la perpendicolare al punto medio del lato e poi unire questo col vertice opposto.
Sia il triangolo scaleno ABC
poi costruisci la mediana al lato CB
Le due mediane si intersecano in O. Puoi verificare che anche la mediana al lato AB passa nel punto O.
Il punto di intersezione delle tre MEDIANE è detto BARICENTRO.
Il BARICENTRO è sempre interno al triangolo.
AO = 2 OF
CO = 2 OE
BO = 2 OG
(Approfondimento)
Assegnati tre punti qualsiasi del piano è sempre possibile unirli con una circonferenza.
Traccia il segmento AB e costruisci l'asse.
Costruito il BARICENTRO O, costruisci la circonferenza che passa per E, F, G.
Traccia il segmento GE, costruisci l'asse (che passa in 3-4) e interseca il precedente in M.
Punta il compasso in M, traccia la circonferenza che passa in E, F, G.
Come vedi la circonferenza taglia i lati del triangolo in altri 3 punti (rossi). Questi corrispondono ai PIEDI delle TRE ALTEZZE.
CH è l'altezza relativa al lato AB; H è il PIEDE dell'ALTEZZA.
L'ALTEZZA relativa al lato del triangolo è la DISTANZA di questo dal vertice opposto.
Per costruire l'altezza relativa al lato CB, prolunga il lato, punta il compasso in A, traccia l'arco in 1-2.
Punta il compasso in 1, poi in 2, con apertura maggiore della metà di 1-2, traccia gli archi in 3.
Sia il triangolo scaleno ABC.
Costruisci l'altezza relativa alla base AB.
Costruisci l'altezza relativa al lato AC
Puoi verificare che anche l'altezza relativa al lato CB passa nel punto O.
Il punto dove si incontrano le tre altezze è detto ORTOCENTRO.
(approfondimento)
Traccia la circonferenza che passa per i piedi delle altezze G, H, F.
Unisci FH, costruisci l'asse.
Unisci FG, costruisci l'asse che incontra il precedente in M.
Questa circonferenza taglia i lati del triangolo in altri tre punti (rossi) che sono rispettivamente i punti medi dei lati.
Nei triangoli acutangoli l'ORTOCENTRO è un punto interno al triangolo.
Nei triangoli OTTUSANGOLI:
Il piede dell'altezza G è esterno al triangolo.
L'ORTOCENTRO O si trova prolungando le altezze CF e BG.
Anche il piede della terza altezza H è esterno al triangolo.
Costruisci la circonferenza che passa per i piedi delle altezze F, G, H.
Asse di GF.
M è il centro della circonferenza che passa per i piedi delle altezze.
I tre punti di intersezione (gialli) con i lati del triangolo sono i rispettivi punti MEDI.
Nei triangoli OTTUSANGOLI l'ORTOCENTRO è esterno al triangolo.
Se il triangolo è RETTANGOLO, due altezze coincidono con i cateti mentre la terza è interna al triangolo.
Sia il triangolo ABC
Costruisci la bisettrice dell'angolo esterno C
e dell'angolo esterno B.
Costruisci la bisettrice dell'angolo interno A.
Costruisci la perpendicolare al prolungamento di AC, passante per O.
Punta il compasso in O, con apertura OE, traccia la circonferenza e verifica che è tangente al prolungamento di AB e al lato BC.
Il punto O è detto EXCENTRO e la circonferenza: CIRCONFERENZA EXSCRITTA.
Un triangolo ha tre EXCENTRI, punti di incontro delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell'angolo interno non adiacente ad essi.
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