Assonometria isometrica - prisma e piramide

L'assonometria isometrica è una rappresentazione tridimensionale di solidi. Gli assi x, y, z formano angoli di 120° e le dimensioni, su tutti e tre gli assi sono rappresentate con la stessa scala.

Per disegnare i tre assi: traccia una retta verticale e una orizzontale.

Punta il compasso nel punto di intersezione, con apertura 4-5 cm, traccia la semicirconferenza.

Con la stessa apertura, punta il compasso in 1, traccia due archi che tagliano la semicirconferenza in 2 e 3.

Traccia gli assi passanti per 2 e 3.

1) Assonometria isometrica di un prisma retto a base ettagonale (ettagono di base inscritto in una circonferenza di raggio 4 cm), altezza 7 cm.

Costruisci l'ettagono inscritto. Traccia la circonferenza di raggio 4 cm con centro in O, traccia il diametro verticale.

Punta il compasso in H, con apertura uguale al raggio, traccia l'arco che taglia la circonferenza in 1 e 2. Traccia la corda 1-2.

Con apertura di compasso esattamente uguale a 1-M, a partire da A traccia tre archi sulla circonferenza: B, C, D, sempre a partire da A altri tre archi: G, F, E.

Unisci i punti ABCDEFG, vertici dell'ettagono inscritto.

Per costruire l'assonometria dell'ettagono è necessario inscriverlo in un rettangolo, in modo che i vertici del poligono cadano sui lati. Come puoi facilmente vedere questo non è possibile perché due vertici dell'ettagono non toccano i lati del rettangolo. 

Costruisci il rettangolo 1-3-4-6 che passa per A, C, D, E, F poi traccia  il segmento 5-2 che passa per B e G (il segmento è parallelo a 4-3).

Traccia gli assi dell'assonometria isometrica.

Con il compasso riporta i due rettangoli 1-2-3-4-5-6 in assonometria isometrica sugli assi x-z (1'-2'-3'-4'-5'-6').

Sempre con il compasso riporta i punti A-B-C-D-E-F-G in A'-B'-C'-D'-E'-F'-G'.

Unisci i punti A'-B'-C'-D'-E'-F'-G', vertici dell'ettagono deformato in assonometria isometrica.

Dai punti A'-B'-C'-D'-E'-F'-G' traccia le semirette (verso l'alto) 

parallele all'asse y.

Con apertura di compasso uguale all'altezza del prisma, punta in A'-B'-C'-D'-E'-F'-G', traccia gli archi che tagliano gli spigoli laterali.

Unisci i punti che formano la base superiore del prisma.

Con la matita, appesantisci gli spigoli "in vista" del prisma.

Gli spigoli "nascosti" devono essere tratteggiati. In alternativa puoi colorare, in modo tenue, le facce visibili del prisma.

2) Assonometria isometrica di una piramide a base ettagonale (ettagono di base inscritto in una circonferenza di raggio 4 cm) alta 7 cm.

Si segue lo stesso procedimento fino a questo punto, dove occorre anche riportare in assonometria il punto O' (centro dell'ettagono).

Traccia la semiretta parallela all'asse y, a partire da O'. Con il compasso riporta l'altezza della piramide = O'V.

Unisci i vertici di base A'-B'-C'-D'-E'-F'-G' con il vertice V.

Con la matita, appesantisci gli spigoli visibili della piramide.

Gli spigoli "nascosti" devono essere tratteggiati. In alternativa puoi colorare in modo tenue le facce visibili.

3) Assonometria isometrica di un prisma a base ettagonale (ettagono di base inscritto in una circonferenza di raggio 4 cm) alto 2,5 cm e di un parallelepipedo 2,5 cm x 6 cm x 7 cm. La faccia 6 cm x 6,5 cm del  parallelepipedo è adiacente alla faccia D'E' del prisma.

Costruisci l'ettagono e il rettangolo di base del parallelepipedo (6cm x 2,5 cm), centrato rispetto al lato DE.

Inscrivi l'ettagono nei rettangoli 1-2-3-4-5-6 e il rettangolo LMNP in 7-8-9-10. 

NB 9-8 deve essere parallelo a 1-2-3 e 7-8 parallelo a 1-6.

L'asse x dell'assonometria passi in A e l'asse z passi in N.

Riporta, con il compasso i rettangoli 1-2-3-4-5-6 e-7-8-9-10 sul piano x-z dell'assonometria isometrica.

Con il compasso riporta i vertici A-B-C-D-E-F-G e L-M-N-P sul piano x-z dell'assonometria isometrica.

Traccia le semirette parallele all'asse y dai vertici L'-M'-N'-P'.

Con il compasso aperto 6,5 cm (altezza del parallelepipedo) riporta le altezze dei quattro spigoli del parallelepipedo. Traccia la base superiore.

Con il compasso aperto 2,5 cm (altezza del prisma) riporta le altezze dei sette spigoli del prisma. Traccia la base superiore.

Con la matita, appesantisci gli spigoli visibili del prisma.

Appesantisci gli spigoli visibili del parallelepipedo.

Tratteggia gli spigoli "nascosti" dei due solidi. In alternativa colora in modo tenue le facce visibili.

Costruzione quadrati e rettangoli

Ricorda che:

il quadrato è un poligono regolare formato da 4 lati della stessa lunghezza;

e 4 angoli della stessa ampiezza (90°);

le due diagonali hanno stessa lunghezza,  si intersecano nel punto medio e formano 4 angoli retti.

1) Costruzione del quadrato di lato 5 cm

Sia AB il lato del quadrato

Costruisci la perpendicolare all'estremo A (scegli un punto qualsiasi, O; punta il compasso in O con apertura OA, traccia una semicirconferenza)

(Traccia la semiretta 1-O che taglia la semicirconferenza in 2)

(Traccia la semiretta A-2, perpendicolare al segmento AB)

Punta il compasso in A, con apertura AB, traccia l'arco che taglia la perpendicolare in D.

Con la stessa apertura di compasso (AB), punta in B, traccia un arco, punta in D, traccia l'arco che interseca il precedente in C.

Unisci i punti ABCD, vertici del quadrato.

2) Costruzione del quadrato, assegnata la diagonale AC (7 cm)

Sia AC la diagonale del quadrato.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AC.

Punta il compasso nel punto medio M, con apertura MA, traccia la circonferenza che interseca la perpendicolare in B e D.

Unisci i punti ABCD, vertici del quadrato.

2a) Costruzione del quadrato inscritto nella circonferenza di raggio r.

Traccia la circonferenza di raggio r e centro O.

Traccia un diametro qualsiasi AC.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AC, che taglia la circonferenza in B e D.

Unisci i punti ABCD, vertici del quadrato inscritto.

3) Assegnato il quadrato ABCD, costruisci il quadrato di area doppia e tripla.

Sia ABCD il quadrato, costruito con uno dei metodi precedenti.

Prolunga il lato AB, traccia e prolunga la diagonale AC.

Punta il compasso in A, con apertura AC, traccia l'arco che taglia il prolungamento di AB in E.

Prolunga il lato AD.

Punta il compasso in A, con apertura AE, traccia l'arco che taglia il prolungamento di AD in G; con la stessa apertura, punta rispettivamente in E e in G, traccia due archi che si intersecano in F.

Unisci i punti AEFG, vertici del quadrato di area doppia rispetto ABCD.

Prolunga il lato DC fino a tagliare EF in 1.

Punta il compasso in A, con apertura A-1, traccia l'arco che taglia il prolungamento di AB in H.

Punta il compasso in A, con apertura AH, traccia l'arco che taglia il prolungamento di AD in M; con la stessa apertura, punta in H e in M, traccia due archi che si intersecano in L.

Unisci i punti AHLM, vertici del quadrato di area tripla rispetto ABCD.

4) Circoscrivi il quadrato ABCD con una circonferenza e inscrivi una circonferenza nel quadrato.

Sia ABCD il quadrato costruito con uno dei metodi precedenti.

Traccia le due diagonali che si intersecano in O.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di un lato, es. BC.

Punta il compasso in O, con apertura OM, traccia la circonferenza inscritta nel quadrato.

Punta il compasso in O, con apertura OA, traccia la circonferenza circoscritta al quadrato.

5) Costruzione del rettangolo di base b e altezza h.

Sia AB la base del rettangolo.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A.

Apri il compasso quanto l'altezza h del rettangolo, punta in A, traccia l'arco che taglia la perpendicolare in D; punta in B, con la stessa apertura, traccia l'arco, in alto.

Apri il compasso AB, punta in D, traccia l'arco che taglia il precedente in C.

Unisci i punti ABCD, vertici del rettangolo.

6) Costruisci il rettangolo di base b e altezza 1/2 b (metà della base).

Sia AB la base del rettangolo.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AB.

Punta il compasso in A, con apertura AH, traccia l'arco che taglia la perpendicolare in D; con la stessa apertura, punta in B, traccia l'arco in alto.

Con apertura di compasso AB, punta in D, traccia l'arco che taglia il precedente in C.

Unisci i punti ABCD, vertici del rettangolo.

6a) Costruisci il rettangolo di altezza AD = 1/2 diagonale.

Sia AC la diagonale del rettangolo.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AC

Punta il compasso in M, con apertura MA, traccia la circonferenza.

Punta il compasso in A, con apertura AM, traccia l'arco che interseca la circonferenza in D.

Traccia la semiretta di origine in D, che passa in M e taglia la circonferenza in C.

Unisci i punti ABCD, vertici del rettangolo di altezza AD = 1/2 AC.

6b) Costruisci il rettangolo avente l'altezza e la base in proporzione

altezza : base = 2 : 3

Sia AD l'altezza del rettangolo.

Costruisci la perpendicolare ad AD, passante nell'estremo A.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AD.

Punta il compasso in A, con apertura AM, riporta 3 volte la misura a partire da A, determinando B.

Con apertura di compasso AD, punta in B, traccia un arco.

Con apertura di compasso AB, punta in D, traccia l'arco che interseca il precedente in C.

Unisci i punti ABCD, vertici del rettangolo.

7) Costruisci il rettangolo la cui diagonale misura 8 cm e forma con la base un angolo di 30°.

Traccia la semiretta di origine A, sulla quale sarà la base del rettangolo.

Costruisci in A l'angolo di 60° (punta il compasso in A, con apertura 3-4 cm, traccia un arco che interseca la semiretta in 1; punta in 1, con la stessa apertura, taglia l'arco precedente in 2).

L'angolo 1A2 misura 60°; costruisci la bisettrice (punta il compasso in 1, con apertura circa 3 cm, traccia un arco; con la stessa apertura, punta in 2, traccia l'arco che taglia il precedente in 3).

Apri il compasso quanto la diagonale del rettangolo, punta in A, traccia l'arco C-4.

Con la stessa apertura di compasso, punta in C, traccia l'arco a partire da A.

Con apertura di compasso 4-C, punta in A, traccia l'arco che taglia il precedente in 5. Traccia la retta passante per 5-C, parallela ad A-4.

Costruisci la perpendicolare per A (prolunga, verso sinistra, la semiretta di base; con apertura di compasso 3-4 cm, punta in A, traccia la semicirconferenza 6-7; punta il compasso in 6, con apertura circa 6-7, traccia un arco in alto; con la stessa apertura, punta in 7, traccia l'arco che taglia il precedente in 8).

La perpendicolare 8-A, taglia la retta in D. Apri il compasso DC, punta in A, traccia l'arco che taglia la retta di base in B.

Unisci i punti ABCD, vertici del rettangolo.

8) Costruisci il rettangolo le cui diagonali misurano 7 cm e intersecandosi formano due angoli di 60° (opposti al vertice).

 Disegna una diagonale AC del rettangolo.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AC.

Punta il compasso in O, con apertura OA, traccia la circonferenza.

Punta il compasso in C, con apertura uguale al raggio CO, traccia l'arco OD.

Il triangolo COD è equilatero, ha tutti gli angoli di 60°.

Traccia il diametro DB, che forma con AC due angoli opposti al vertice di 60°.

Unisci i punti ABCD, vertici del rettangolo.

9) Costruisci il quadrato equivalente al rettangolo ABCD.

Costruisci il rettangolo ABCD di base e altezza assegnate.

Prolunga il lato AD. Punta il compasso in A, con apertura AB, traccia l'arco che taglia il prolungamento in E.

Costruisci la perpendicolare al punto medio M di DE.

Punta il compasso in M con apertura ME, traccia la semicirconferenza. Prolunga il lato AB fino a tagliare la semicirconferenza in F.

Unisci EFD, vertici del triangolo rettangolo (l'angolo alla circonferenza F è retto perché insiste sulla semicirconferenza - ED diametro). Se hai studiato il secondo teorema di Euclide saprai che l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Di conseguenza il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente le dimensioni corrispondenti alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 

Costruisci il quadrato di lato FA (punta il compasso in A, con apertura FA, traccia l'arco in H. Con la stessa apertura, punta in F e in H, traccia gli archi in G)

Unisci AFGH, vertici del quadrato equivalente al rettangolo ABCD.

10) Costruisci il rettangolo di base assegnata BE, equivalente al quadrato ABCD.

Costruisci il quadrato ABCD di lato l assegnato. Prolunga AB e riporta con il compasso BE uguale alla base del rettangolo.

Traccia la retta per E-C. Costruisci la perpendicolare alla retta per il punto C (punta il compasso in C con apertura 3-4 cm, traccia l'arco 2-1. Con apertura circa 2-1, punta in 1 poi in 2, traccia gli archi in 3).

La perpendicolare taglia il lato AB in H. Punta il compasso in B, con apertura BH, traccia l'arco in G. Con la stessa apertura punta in E, traccia l'arco in alto.

Con apertura di compasso BE, punta in G, traccia l'arco che taglia il precedente in F.

Unisci AEFG, vertici del rettangolo equivalente al quadrato ABCD.

(Sempre per il secondo teorema di Euclide: CB altezza relativa all'ipotenusa; HB proiezione del cateto HC; BE proiezione del cateto EC).