Quadrature di figure piane

QUADRATURE

Sono costruzioni con riga e compasso mediante le quali si costruisce un quadrato di area equivalente a quella di una figura data.

a) Quadratura del rettangolo

Sia il rettangolo ABCD

Prolunga il lato AD. Punta il compasso in D, con apertura DC, traccia un arco che interseca la retta in D'.

DC = DD'

Costruisci la perpendicolare per il punto medio O del segmento AD'

AO = OD'

Prolunga il lato CD.

Punta il compasso in O con apertura OA, traccia la semicirconferenza che interseca la retta in C'.

AO = OD' = a

Il quadrato costruito su C'D ha area equivalente a quella del rettangolo ABCD perché:

Area ABCD = BC x CD
                      = (a + b) x (a - b)        perché CD = DD'
                      = a² - b²
                      considerato il triangolo rettangolo ODC' e applicando Pitagora
                      = c²

b) Quadratura del triangolo

Sia ABC un triangolo qualunque

Costruisci l'altezza CH

Costruisci la perpendicolare a CH passante per il punto medio M.

Con apertura di compasso HA, punta in M e traccia l'arco in F.
Con apertura HB, punta in M e traccia l'arco in E.

Unisci ABEF. 

Il rettangolo ottenuto ha la stessa area del triangolo ABC perché ha la stessa base AB e l'altezza HM pari alla metà dell'altezza HC del triangolo.
E' necessario ora quadrare il triangolo, come visto in precedenza (punto a).

c) Tutti i poligoni sono quadrabili

Come sai, tutti i poligoni si possono suddividere in triangoli.

Al punto b abbiamo dimostrato che tutti i triangoli sono quadrabili.  
Dimostriamo ora che assegnati due quadrati di lato a e b è possibile costruire il quadrato equivalente di lato c.

Costruisci il triangolo rettangolo avente i cateti a e b.

Per il teorema di Pitagora, il quadrato di lato c è equivalente alla somma dei quadrati di lato a e b.

Pertanto tutti i poligoni scomponibili in triangoli sono quadrabili.

c) Quadratura del cerchio

Quadrare il cerchio significa costruire il quadrato equivalente utilizzando esclusivamente riga e compasso.
Trovare la soluzione richiederebbe la costruzione del numero 


Vedi "Quadratura del cerchio - a"
http://tecnorevelli.blogspot.it/search/label/Quadratura%20del%20cerchio%20-%20a