LA SIMMETRIA ASSIALE
In geometria la simmetria assiale fa parte delle ISOMETRIE (dal greco isos che significa uguale) che sono (trasformazioni) movimenti rigidi di una figura tali da preservare le distanze fra i vari punti della figura, l'ampiezza degli angoli, l'area e il perimetro.
La figura (trasformata) spostata viene detta IMMAGINE.
Sia la figura che l'immagine hanno lo stesso numero di lati, la stessa lunghezza di ogni lato corrispondente, la stessa ampiezza degli angoli, lo stesso perimetro e la stessa area.
Ma non sono uguali!
Infatti i vertici della figura e dell'immagine non sono nello stesso ordine ma in ordine inverso.
E' come per le nostre mani: la sinistra è disposta in ordine inverso alla destra.
Tra la figura e l'immagine c'è una linea retta, che ha la stessa funzione di uno specchio piano, detta ASSE di SIMMETRIA. Nel disegno tecnico viene rappresentata da una successione di punti e tratti lunghi circa 1,5-2 cm.
Attenzione! la distanza tra i punti e i tratti deve essere breve! e NON...
Per distinguere i punti dell'immagine dai corrispondenti punti della figura utilizziamo:
punti figura: A B C D E
punti immagine: A' B' C' D' E'
E' come per le nostre mani: la sinistra è disposta in ordine inverso alla destra.
Tra la figura e l'immagine c'è una linea retta, che ha la stessa funzione di uno specchio piano, detta ASSE di SIMMETRIA. Nel disegno tecnico viene rappresentata da una successione di punti e tratti lunghi circa 1,5-2 cm.
Attenzione! la distanza tra i punti e i tratti deve essere breve! e NON...
Per distinguere i punti dell'immagine dai corrispondenti punti della figura utilizziamo:
punti figura: A B C D E
punti immagine: A' B' C' D' E'
Sia la figura che l'immagine rispettano delle regole esattamente come avviene per l'immagine riflessa dallo specchio.
Come facciamo a costruire l'immagine?
Assegnato un punto A e l'asse di simmetria
occorre tracciare la perpendicolare all'asse passante per A,
misurare, sulla perpendicolare, la distanza di A dall'asse e riportare (sulla perpendicolare), dall'altra parte dell'asse la stessa distanza A'.
Invece di misurare con il righello si può utilizzare il compasso, puntandolo nel punto (O) in cui la perpendicolare taglia l'asse.
La simmetria assiale di asse r (retta) o riflessione è una trasformazione isometrica che ad ogni punto P di una figura associa un punto P' (immagine) tale che il segmento PP', è perpendicolare all'asse e il punto medio M di PP' appartiene all'asse.
Questo naturalmente vale per tutti i punti della figura anche se noi ci limitiamo a considerare i vertici.
Per le figure formate da linee curve le costruzioni sono notevolmente più complesse ed esulano dalla presente trattazione.
(da geogebra.altervista.org)
Utilizzando il foglio a quadretti, le simmetrie con asse verticale o orizzontale sono abbastanza semplici da costruire, senza dover usare il compasso.
esempio 1
esempio 2
esempio 3
esempio 4
esempio 5
esempio 6
Tracciamo ora l'asse di simmetria con inclinazione di 45° (diagonale dei quadretti)
Se i punti della figura corrispondono ai vertici dei quadretti è facile costruire i simmetrici tracciando le perpendicolari all'asse che sono ancora le diagonali dei quadretti.
Non è il caso di misurare la distanza dall'asse, basta contare le diagonali dei quadretti.
Non è nemmeno il caso di tracciare le perpendicolari perché con un semplice ragionamento logico si riesce a costruire l'immagine.
Scegli un punto della figura (esempio A) segna il simmetrico A' e, a partire da questo costruisci l'immagine ricordando che le linee orizzontali diventano verticali e viceversa.
esempio 7
esempio 8
esempio 9
esempio 10
esempio 11
esempio 12
Possiamo anche disegnare una composizione di simmetrie. Costruiamo l'immagine, poi tracciamo un altro asse di simmetria e costruiamo l'immagine dell'immagine.
figura AB immagine A'B'
figura AB immagine A'B' immagine 2 A''B''
figura AB immagine A'B' immagine 2 A''B'' immagine 3 A''' B'''
esempio 11
esempio 12
Consideriamo una retta inclinata, su un foglio di carta a quadretti.
Come facciamo a stabilire quanto è inclinata?
Potremmo scegliere un punto sulla retta e dal punto tracciare una linea orizzontale e poi con il goniometro misurare l'angolo.
L'inclinazione della retta è 56,3 °
Ma si può usare un altro metodo, più semplice.
(Negli esempi seguenti si usa come unità di misura di lunghezza il quadretto)
Scegli due punti in cui la retta passa per i vertici dei quadretti, considera lo spostamento orizzontale b e quello verticale a. L'inclinazione è individuata da questi due numeri scritti in forma di frazione a/b.
Se per la stessa retta consideri altri due punti come nell'esempio, semplificando la frazione ottieni sempre la stessa inclinazione.
Per stabilire l'inclinazione scegli due punti consecutivi (della retta) che cadono sui vertici dei quadretti (esempio A e B).
Poi considera lo spostamento orizzontale b e quello verticale a per andare da A a B. L'inclinazione è 8/3.
Sia la retta con inclinazione 2/1 e si voglia tracciare la perpendicolare passante per il punto B.
La perpendicolare passante per B deve avere i valori di a è b invertiti e di conseguenza pendenza 1/2.
Anche questa retta passante per B ha inclinazione 1/2, ma non è perpendicolare all'altra retta. Si dovrebbero aggiungere altre precisazioni (vedi Nota finale), ma per il momento accontentiamoci di tracciare, delle due possibili, quella che risulta perpendicolare (ad occhio).
Sia la retta con inclinazione 3/2 e si tracci la perpendicolare passante per B.
La perpendicolare per B deve avere inclinazione 2/3.
Si costruisca la simmetria assiale di AB con l'asse inclinato 3/1.
Traccia da A e da B le perpendicolari all'asse con inclinazioni di 1/3.
Puntando il compasso nei punti in cui le perpendicolari tagliano l'asse riporta le di stanze di A in A' e di B in B'.
Unisci poi i punti A'B'
Costruisci la simmetria assiale del poligono, con asse di simmetria inclinato 2/1.
Traccia le perpendicolari all'asse, con inclinazione 1/2, passanti per i vertici del poligono.
Con il compasso punta nei punti di intersezione, riporta le distanze sulle perpendicolari (esempio A - A').
La stessa cosa la potresti fare con un righello, ma con il compasso è più precisa.
Unisci poi i vertici dell'immagine A'B'C'D'E'
Costruisci la simmetria assiale del poligono, con asse di simmetria inclinato 1/3.
Traccia le perpendicolari all'asse, con inclinazione 3/1 passanti per A B C D E.
Con il compasso riporta le distanze sulle perpendicolari.
Unisci i verti A'B'C'D'E' dell'immagine.
Costruisci la simmetria assiale del poligono con asse di simmetria inclinato 4/1.
Traccia le perpendicolari all'asse, con inclinazione 1/4, passanti per A B C D E.
Con il compasso riporta le distanze.
Unisci i vertici A'B'C'D'E' dell'immagine.
Costruisci la simmetria assiale del poligono con asse di simmetria inclinato 2/5.
Nota
INCLINAZIONE DELLE RETTE
Come abbiamo detto sopra, le due rette (r e t) hanno la stessa inclinazione 1/4.
Consideriamo allora la pendenza della retta: se questa passa all'interno dell'angolo retto, segnato in rosso, diciamo che ha pendenza (+) positiva.
Se la retta passa nell'angolo retto segnato in arancione, diciamo che ha pendenza (-) negativa.
Due rette sono parallele se la frazione che indica l'inclinazione è inversa e se hanno pendenza opposta (+ e -) (- è +)
esempio 1
esempio 2
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