Il Grand Hotel
David Hilbert, nato a Königsberg il 23 gennaio 1862 – morto a Gottinga il 14 febbraio 1943, fu uno dei massimi matematici tedeschi.
Un Grand Hotel ha un numero infinito di camere: camera 1, camera 2, camera 3, .........
Essendo molto confortevole risulta sempre completo. Nonostante ciò l'albergo possiede la caratteristica di poter ospitare qualunque viaggiatore sopraggiunga, senza prenotazione. Il direttore, molto scaltro, per sistemare gli ospiti inattesi, invita i clienti, sempre ben disposti e pazienti, a lasciare la propria camera per spostarsi in un'altra.
Una sera, tardi, arriva un viaggiatore e l'hotel come il solito è completo.
Il direttore invita i clienti a lasciare la propria camera di numero n per spostarsi nella camera n+1.
Il direttore invita i clienti a lasciare la propria camera di numero n per spostarsi nella camera n+1.
l'ospite della camera 1 va nella 2;
l'ospite della camera 2 va nella 3;
l'ospite della camera 3 va nella 4;
..............................................
l'ospite della camera n va nella n+1.
In questo modo si libera la camera 1 che viene occupata dal viaggiatore.
Se l'hotel avesse avuto un numero finito di camere, l'ultimo cliente avrebbe dovuto lasciare l'albergo. Ma siccome aveva un numero infinito di stanze, c'era posto per tutti.
La sera dopo si presentarono 5 viaggiatori. Era molto tardi, ma il direttore , cortesemente, invitò gli ospiti a spostarsi di 5 numeri di camera.
l'ospite della camera 1 va nella 6;
l'ospite della camera 2 va nella 7;
l'ospite della camera 3 va nella 8;
...............................................
l'ospite della camera n va nella n+5.
In questo modo si liberano 5 camere per i 5 viaggiatori.
La sera dopo arrivò un pullman enorme con un numero infinito di viaggiatori. Il direttore si fece pensieroso, ma non si perse d'animo è trovò la soluzione. Cortesemente invitò tutti gli ospiti a passare nella camera di numero doppio rispetto a quella occupata.
Quindi:
l'ospite della camera 1 va nella 2;
l'ospite della camera 2 va nella 4;
l'ospite della camera 3 va nella 6;
........................................................
l'ospite della camera 23 va nella 46;
..........................................................
l'ospite della camera n va nella nx2.
In questo modo si liberano infinite camere per i viaggiatori. I vecchi clienti occuparono tutte le camere pari e i nuovi clienti tutte le camere dispari.
Il giorno dopo la situazione si semplificò perché tutti gli ospiti che occupavano le camere di numero pari se ne andarono lasciando l'albergo mezzo vuoto.
Il direttore diventò di cattivo umore perché con un albergo metà vuoto diventava difficile raggiungere il bilancio preventivo. Di quale bilancio si trattasse non era dato sapere anche perché l'hotel aveva un numero infinito di clienti che gli pagavano un infinito numero di camere (dispari). Ma il direttore preferì occupare tutte le camere e pertanto invitò gli ospiti ad occupare il numero di camera ottenuto dal numero della camera in cui si trovavano, sommato di uno e diviso per 2. Di tutti i clienti, quello che occupava la camera 1 fu l'unico a non cambiare posto.
Quindi:
l'ospite della camera 1 resta nella 1;
l'ospite della camera 3 va nella 2;
l'ospite della camera 5 va nella 3;
........................................................
l'ospite della camera 23 va nella 12;
..........................................................
l'ospite della camera n va nella (n+1):2.
Il giorno dopo la situazione diventò tragica.
Infiniti hotel con infiniti clienti dovettero chiudere i battenti e il Grand Hotel dovette ospitarli tutti in cinque giorni.
Il direttore non sapeva come risolvere la questione. Come poteva spostare gli ospiti da un numero infinito di hotel - ognuno dei quali con infiniti ospiti - in un unico hotel che era già pieno?
Una soluzione doveva pur esserci.
Pensò di spostare tutti gli ospiti del Grand Hotel nelle infinite stanze del primo piano. Al secondo piano avrebbe sistemato gli infiniti ospiti dell'hotel numero 2, al terzo gli infiniti ospiti dell'hotel numero 3 .... all'infinitesimo piano gli infiniti ospiti dell'hotel infinitesimo. Divisi per piano gli ospiti avrebbero mantenuto lo stesso numero di camera che avevano nell'hotel originario.
Prima di tutto occorreva assegnare un numero ad ogni hotel riservando l'1 al Grand Hotel. Ogni ospite veniva distinto da una coppia di numeri: il primo indicava l'hotel di provenienza, il secondo la stanza occupata in quell'hotel.
Mentre si beveva una birra, soddisfatto dell'idea, gli venne un terribile dubbio:
se gli ospiti mantenevano il numero originale di camera in ogni piano, nel Grand Hotel ci sarebbe stato un infinito numero di camere con lo stesso numero. Un hotel non può avere due camere con lo stesso numero!
Bisognava ricominciare daccapo!
Nel Grand Hotel l'atmosfera si fece pesante, nessuno osava rivolgere la parola al direttore che camminava avanti e indietro nella hall, e gesticolava con le mani.
Il capocuoco ebbe una grande idea, pensò di far uso delle progressioni geometriche. Così, con la dovuta cautela, suggerì al direttore di sistemare tutti gli ospiti del Grand Hotel nelle camere numero 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... (numeri che formano la progressione geometrica di base 2). Gli ospiti del secondo Hotel nelle camere numero 3, 9, 27, 81 ... (progressione geometrica di base 3) e così via.
Il direttore si fece ancora più scuro in volto e domandò:
- E dovremmo usare la progressione in base 4 per il terzo Hotel?
- Naturalmente - rispose il capocuoco.
- Bestia che sei!!! le camere 4, 16, 32, 64..... sono già occupate!!!
Il capocuoco si ritirò nelle cucine e per un bel po' di tempo non volle più sentir parlare di numeri.
L'idea delle progressioni geometriche non era malvagia e il direttore cominciò a rifletterci sopra. Si potevano usare, come base delle progressioni, solo i numeri primi.
Gli ospiti del Grand Hotel avrebbero occupato le camere 2, 4, 8, 16, 32, 64....
Gli ospiti del secondo Hotel le camere 3, 9, 27, 81, 273, 819....
Gli ospiti del terzo Hotel le camere 5, 25, 125, 625.....
Gli ospiti del quarto Hotel le camere 7, 49, 343, 2401...
- E non succederà anche in questo caso che qualche stanza abbia due ospiti?
Si chiese il direttore.
Fortuna volle che la camera numero 865.234.654.876.987.234 del Grand Hotel fosse occupata da un famoso matematico. Il direttore lo fece chiamare e con delicatezza gli espose il problema.
- Se si prendono due numeri primi, nessuna delle potenze intere positive di uno può equivalere a quelle dell'altro. Se p e q sono numeri primi, con p ≠ q, e m e n sono numeri naturali, pm ≠ qn.
Gli rispose il matematico.
Poi, come tutti i matematici, propose una nuova soluzione al problema. Si trattava di assegnare a tutti gli ospiti una coppia di numeri (come già visto): il primo (n) che indicava l'hotel di provenienza, il secondo (m) la stanza occupata in quell'hotel e di sistemare gli ospiti nella nuova camera 2m 3n
Anche in questo caso non si avrebbero camere con più ospiti perché se m ≠ p e n≠ q, allora 2m 3n ≠ 2p 3q
Numeri assegnati agli ospiti dei vari hotel (il primo corrisponde al numero dell'Hotel, il secondo alla camera occupata in quell'hotel)
Per ogni ospite si applica la formula suggerita dal matematico per determinare il numero di camera.
Calcolando le potenze si ottiene il:
Era una soluzione. Il direttore ringraziò il matematico e ricominciò a camminare avanti e indietro nella hall, scuro in volto.
- I matematici sono matematici!
Bofonchiò il direttore.
- Cosa capiscono di cose pratiche? della gestione di un hotel?
- Se faccio come mi propone ho più camere vuote che camere occupate. E' la mia rovina!
Si potevano spostare gli infiniti ospiti del Grand Hotel nella camera di numero doppio rispetto a quella occupata. Cosi tutte le camere pari sarebbero state occupate. poi si potevano assegnare le restanti secondo le progressioni geometriche aventi come base i numeri primi corrispondenti agli infiniti hotel.
Gli ospiti del Grand Hotel avrebbero occupato le camere pari di numero 2, 4, 6, 8, 10, 12....
Gli ospiti del secondo Hotel avrebbero occupato le camere numero 3n
Gli ospiti del terzo Hotel avrebbero occupato le camere numero 5n
(dove n è il numero di camera occupato nel secondo Hotel) 5, 25, 125, 625...
Era una soluzione! ma le camere vuote facevano impazzire il direttore che adesso camminava avanti e indietro nel cortile dell'Hotel anche se da alcune ore scendeva una pioggerellina fitta fitta.
Il capo del personale, preso a compassione, cominciò a cercare sulla rete qualcuno che potesse dare una mano al direttore, prima che il suo sistema nervoso crollasse del tutto.
Fu verso le quattro del mattino che arrivò una risposta:
1) tabulare i dati in caselle dove il numero di riga indica l'Hotel di provenienza e il numero di colonna la camera occupata in quell'Hotel (ogni cliente è individuato da una coppia di numeri).
Il contabile cominciò a compilare la solita tabella:
2) Sistemare gli ospiti nelle camere del Grand Hotel secondo i quadrati a partire da 1.
Il direttore arrivò trafelato. Gli spiegarono il messaggio poco comprensibile e aspettarono la reazione.
Cosa voleva dire "secondo i quadrati?"
Tutti i tentativi per ottenere chiarimenti in rete furono inutili.
Nuovamente si chiamò il matematico della camera numero 865.234.654.876.987.234 anche se l'orologio segnava le quattro e venti del mattino.
Fu al giardiniere che venne un'idea, diciamo artistica.
Partendo dalla cella in alto a sinistra dove è collocato l'ospite (1,1) si assegna la camera numero 1 del Grand Hotel.
Poi si prosegue con le celle che formano il secondo quadrato.
L'ospite (1,2) si colloca nella camera numero 2,
l'ospite (2,2) si colloca nella camera numero 3,
l'ospite (2,1) si colloca nella camera numero 4.
Pensò di spostare tutti gli ospiti del Grand Hotel nelle infinite stanze del primo piano. Al secondo piano avrebbe sistemato gli infiniti ospiti dell'hotel numero 2, al terzo gli infiniti ospiti dell'hotel numero 3 .... all'infinitesimo piano gli infiniti ospiti dell'hotel infinitesimo. Divisi per piano gli ospiti avrebbero mantenuto lo stesso numero di camera che avevano nell'hotel originario.
Prima di tutto occorreva assegnare un numero ad ogni hotel riservando l'1 al Grand Hotel. Ogni ospite veniva distinto da una coppia di numeri: il primo indicava l'hotel di provenienza, il secondo la stanza occupata in quell'hotel.
Mentre si beveva una birra, soddisfatto dell'idea, gli venne un terribile dubbio:
se gli ospiti mantenevano il numero originale di camera in ogni piano, nel Grand Hotel ci sarebbe stato un infinito numero di camere con lo stesso numero. Un hotel non può avere due camere con lo stesso numero!
Bisognava ricominciare daccapo!
Nel Grand Hotel l'atmosfera si fece pesante, nessuno osava rivolgere la parola al direttore che camminava avanti e indietro nella hall, e gesticolava con le mani.
Il capocuoco ebbe una grande idea, pensò di far uso delle progressioni geometriche. Così, con la dovuta cautela, suggerì al direttore di sistemare tutti gli ospiti del Grand Hotel nelle camere numero 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... (numeri che formano la progressione geometrica di base 2). Gli ospiti del secondo Hotel nelle camere numero 3, 9, 27, 81 ... (progressione geometrica di base 3) e così via.
Il direttore si fece ancora più scuro in volto e domandò:
- E dovremmo usare la progressione in base 4 per il terzo Hotel?
- Naturalmente - rispose il capocuoco.
- Bestia che sei!!! le camere 4, 16, 32, 64..... sono già occupate!!!
Il capocuoco si ritirò nelle cucine e per un bel po' di tempo non volle più sentir parlare di numeri.
L'idea delle progressioni geometriche non era malvagia e il direttore cominciò a rifletterci sopra. Si potevano usare, come base delle progressioni, solo i numeri primi.
Gli ospiti del Grand Hotel avrebbero occupato le camere 2, 4, 8, 16, 32, 64....
Gli ospiti del secondo Hotel le camere 3, 9, 27, 81, 273, 819....
Gli ospiti del terzo Hotel le camere 5, 25, 125, 625.....
Gli ospiti del quarto Hotel le camere 7, 49, 343, 2401...
- E non succederà anche in questo caso che qualche stanza abbia due ospiti?
Si chiese il direttore.
Fortuna volle che la camera numero 865.234.654.876.987.234 del Grand Hotel fosse occupata da un famoso matematico. Il direttore lo fece chiamare e con delicatezza gli espose il problema.
- Se si prendono due numeri primi, nessuna delle potenze intere positive di uno può equivalere a quelle dell'altro. Se p e q sono numeri primi, con p ≠ q, e m e n sono numeri naturali, pm ≠ qn.
Gli rispose il matematico.
Poi, come tutti i matematici, propose una nuova soluzione al problema. Si trattava di assegnare a tutti gli ospiti una coppia di numeri (come già visto): il primo (n) che indicava l'hotel di provenienza, il secondo (m) la stanza occupata in quell'hotel e di sistemare gli ospiti nella nuova camera 2m 3n
Anche in questo caso non si avrebbero camere con più ospiti perché se m ≠ p e n≠ q, allora 2m 3n ≠ 2p 3q
Numeri assegnati agli ospiti dei vari hotel (il primo corrisponde al numero dell'Hotel, il secondo alla camera occupata in quell'hotel)
Per ogni ospite si applica la formula suggerita dal matematico per determinare il numero di camera.
Calcolando le potenze si ottiene il:
- I matematici sono matematici!
Bofonchiò il direttore.
- Cosa capiscono di cose pratiche? della gestione di un hotel?
- Se faccio come mi propone ho più camere vuote che camere occupate. E' la mia rovina!
Si potevano spostare gli infiniti ospiti del Grand Hotel nella camera di numero doppio rispetto a quella occupata. Cosi tutte le camere pari sarebbero state occupate. poi si potevano assegnare le restanti secondo le progressioni geometriche aventi come base i numeri primi corrispondenti agli infiniti hotel.
Gli ospiti del Grand Hotel avrebbero occupato le camere pari di numero 2, 4, 6, 8, 10, 12....
Gli ospiti del secondo Hotel avrebbero occupato le camere numero 3n
(dove n è il numero di camera occupato nel secondo Hotel) 5, 25, 125, 625...
Era una soluzione! ma le camere vuote facevano impazzire il direttore che adesso camminava avanti e indietro nel cortile dell'Hotel anche se da alcune ore scendeva una pioggerellina fitta fitta.
Il capo del personale, preso a compassione, cominciò a cercare sulla rete qualcuno che potesse dare una mano al direttore, prima che il suo sistema nervoso crollasse del tutto.
Fu verso le quattro del mattino che arrivò una risposta:
1) tabulare i dati in caselle dove il numero di riga indica l'Hotel di provenienza e il numero di colonna la camera occupata in quell'Hotel (ogni cliente è individuato da una coppia di numeri).
Il contabile cominciò a compilare la solita tabella:
2) Sistemare gli ospiti nelle camere del Grand Hotel secondo i quadrati a partire da 1.
Il direttore arrivò trafelato. Gli spiegarono il messaggio poco comprensibile e aspettarono la reazione.
Cosa voleva dire "secondo i quadrati?"
Tutti i tentativi per ottenere chiarimenti in rete furono inutili.
Nuovamente si chiamò il matematico della camera numero 865.234.654.876.987.234 anche se l'orologio segnava le quattro e venti del mattino.
Fu al giardiniere che venne un'idea, diciamo artistica.
Poi si prosegue con le celle che formano il secondo quadrato.
L'ospite (1,2) si colloca nella camera numero 2,
l'ospite (2,2) si colloca nella camera numero 3,
l'ospite (2,1) si colloca nella camera numero 4.
Si prosegue con le celle che formano il terzo quadrato.
L'ospite (1,3) si colloca nella camera numero 5,
l'ospite (2,3) si colloca nella camera numero 6,
l'ospite (3,3) si colloca nella camera numero 7,
l'ospite (3,2) si colloca nella camera numero 8,
l'ospite (3,1) si colloca nella camera numero 9.
Si continua così all'infinito seguendo i quadrati.
Il direttore riprese colore e il suo respiro si fece più regolare. Effettivamente tutto sembrava funzionare, le camere venivano assegnate con ordine e non rimanevano stanze senza ospiti.
Ma...
Come poteva un ospite di un albergo n che occupava la camera m sapere quale camera gli sarebbe stata assegnata al Grand Hotel senza dover aspettare la successione dei quadrati?
Il matematico, che fino a quel momento aveva taciuto, ascoltando la spiegazione del giardiniere si fece serio e prima che il direttore aprisse bocca affermò:
- Consideriamo l'ospite che occupa la stanza m dell'Hotel n,
se m è maggiore o uguale a n, occuperà la camera numero
Per esempio: l'ospite della camera 157 dell'Hotel numero 237 sarà trasferito nella camera: 2372 - 157 + 1 = 56013;
l'ospite della camera 432 dell'Hotel numero 86 sarà trasferito nella camera: (432-1)2 + 86 = 185847.
Era la soluzione!!!!
Non sappiamo come festeggiarono, ma è sicuro che, anche se albeggiava, tutti andarono a riposare, pensando al grande lavoro che li aspettava.
Il direttore riprese colore e il suo respiro si fece più regolare. Effettivamente tutto sembrava funzionare, le camere venivano assegnate con ordine e non rimanevano stanze senza ospiti.
Ma...
Come poteva un ospite di un albergo n che occupava la camera m sapere quale camera gli sarebbe stata assegnata al Grand Hotel senza dover aspettare la successione dei quadrati?
Il matematico, che fino a quel momento aveva taciuto, ascoltando la spiegazione del giardiniere si fece serio e prima che il direttore aprisse bocca affermò:
- Consideriamo l'ospite che occupa la stanza m dell'Hotel n,
se m è maggiore o uguale a n, occuperà la camera numero
(m-1)2 +n,
se m è minore di n, occuperà la camera numero
n2 - m + 1.
Per esempio: l'ospite della camera 157 dell'Hotel numero 237 sarà trasferito nella camera: 2372 - 157 + 1 = 56013;
l'ospite della camera 432 dell'Hotel numero 86 sarà trasferito nella camera: (432-1)2 + 86 = 185847.
Era la soluzione!!!!
Non sappiamo come festeggiarono, ma è sicuro che, anche se albeggiava, tutti andarono a riposare, pensando al grande lavoro che li aspettava.
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