Esagono in assonometria

L'assonometria

Le rappresentazioni assonometriche forniscono un'immagine unitaria di un solido. 
Immaginiamo che una faccia del solido sia un esagono regolare e disegniamo le possibili deformazioni di questa figura nelle diverse assonometrie.

Disegna il lato AB dell'esagono (3,5 cm), apri il compasso AB, punta in A, poi in B, traccia due archi in O.

Punta il compasso in O, con apertura OA, traccia la circonferenza.

Con la stessa apertura, punta in F, traccia l'arco in E; punta in C, traccia l'arco in D.

Unisci i punti ABCDEF, vertici dell'esagono.

Prolunga il lato AB, traccia la parallela per ED.

Traccia la perpendicolare alla retta r passante per C e la perpendicolare per F.

Il rettangolo 1234 inscrive l'esagono regolare.

Sulla retta r scegli un punto 2', costruisci la perpendicolare.

Costruisci la bisettrice dell'angolo retto.

Apri il compasso 1-2, punta in 2', traccia l'arco in 1'. Apri  2-3, punta in 2', traccia l'arco in 3' poi punta in 1', traccia l'arco in 4'. Apri 3-4, punta in 3', traccia l'arco in 4'.

Disegna il parallelogramma 1'2'3'4' derivato dalla deformazione del rettangolo 1234.

Con il compasso, a partire dai vertici del rettangolo, riporta le misure corrispondenti dei vertici A B C D E F sul parallelogramma (vertici A' B' C' D' E' F').

Unisci i vertici A' B' C' D' E' F' dell'esagono deformato.

Questa deformazione è stata ottenuta inclinando il lato del rettangolo 1234 di 45°. Se l'esagono è la base di un solido, l'inclinazione di 45° corrisponde all'asse della profondità z. 

Abbiamo detto che l'assonometria che ha l'asse z inclinato di 45° si dice ASSONOMETRIA CAVALIERA e che le misure su tale asse devono essere DIMEZZATE.

La deformazione da noi ottenuta non è dunque corretta perché non abbiamo dimezzato le misure sull'asse z (inclinato).

Ripetiamo la costruzione dimezzando tali misure.


Ricostruisci l'esagono di lato 3,5 cm.

Inscrivi l'esagono nel rettangolo 1234.

Costruisci un angolo di 30° avente come lato la semiretta r.

Verifica che i punti F e C siano sulla stessa linea parallela alla base. Punta il compasso in 2, apri 2-C, traccia l'arco fino ad incontrare la semiretta r, poi apri 2-3 e fai la stessa cosa.

Traccia la perpendicolare s alla retta di base, passante per (E-D). Traccia la parallela alla retta di base per (F-C). Il segmento O-(E-D) è la metà di 2-3 e il segmento O-(F-C) è la metà di 2-C.

Costruisci la bisettrice dell'angolo retto.

Come nell'esercizio precedente, riporta con il compasso le misure 1-2 in 1'-2', poi apri O-(E-D), punta in 2', traccia l'arco in 3', punta in 1', traccia l'arco in 4'.

Apri nuovamente 1-2, punta in 4', interseca l'arco in 3'. Traccia 1'2'3'4'.

Riporta con il compasso 1-A in 1'A', 1-B in 1'-B', 4-E in 4'-E', 4-D in 4'-D'. Apri O-(F-C), punta in 2', traccia l'arco in C', punta in 1', traccia l'arco in F'.

Unisci i punti A'B'C'D'E'F', vertici dell'esagono in assonometria cavaliera.

NB per dimezzare le misure di un segmento si è utilizzata la seguente costruzione:

sia AB il segmento.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A del segmento.

Costruisci l'angolo di 30°

Punta il compasso in A con apertura AB, traccia l'arco fino ad incontrare la semiretta.

Traccia la parallela al segmento passante nel punto 1.

Puoi verificare che la distanza AB' è esattamente la metà di AB.

Consideriamo ora una faccia esagonale irregolare.


Disegna un rettangolo qualsiasi (es. base 7cm, altezza 6 cm)

Inscrivi nel rettangolo un esagono irregolare (attenzione che tutti i 6 vertici siano sui lati del rettangolo).

Costruisci un angolo di 30° come in figura.

Traccia le parallele alla base passanti per E e per F (proietta sul lato 2-3 tutti i vertici dell'esagono).

Punta il compasso in 2, traccia gli archi corrispondenti ai punti sul lato 2-3 fino ad incontrare la semiretta (proietta sulla semiretta i vertici dell'esagono).

Traccia la perpendicolare alla linea di base passante per D-C. traccia le parallele per gli altri punti (E B F).

Traccia i tre assi: y perpendicolare a x e z inclinato di 45°.

Trasporta (con il compasso) le distanze 1-2 in 1'-2', 3-4 in 3'-4'. 
1'-4' = 2'-3' corrisponde alla distanza O-(D-C) 

Sempre con il compasso trasporta 4-D in 4'-D', 4-C in 4'-C', 1-A in 1'-A'.

Poi prendendo il riferimento sulla semiretta t: O-F in 1'-F', 
O-E in 1'-E', O-B in 2'-B'.

Unisci i vertici dell'esagono deformato A'B'C'D'E'F' in assonometria CAVALIERA.

Abbiamo rappresentato l'esagono irregolare in assonometria cavaliera sul piano x-z.

Disegniamo ora lo stesso esagono in assonometria cavaliera sul piano y-z.

Traccia gli assi y-x perpendicolari e z inclinato di 45°

Costruisci la semiretta inclinata di 30° (per dimezzare le misure orizzontali).

Proietta i vertici dell'esagono sulla semiretta.

Proiettali poi sulla verticale t.

Proietta i vertici dell'esagono sull'asse y.

Traccia la parallela all'asse z per 4'. Trasporta con il compasso le misure: 1-B' (sulla retta t) in 4'-3' e in 1'-2'.

Traccia le parallele all'asse z delle proiezioni dei punti E, B, F. Ottieni così i vertici E', B', F'.

Con il compasso trasporta le distanze: 1-D' (su t) in 4'-D', 1-C' (su t) in 4'-C', 1-A' (su t) in 1'-A'.

Unisci i vertici A'B'C'D'E'F' dell'esagono irregolare in assonometria cavaliera sul piano y-z.

la forza

LA FORZA

Che cosa intendiamo comunemente con forza?

"Io sono più forte di Marco" significa che, se facciamo una gara, generalmente vinco io.

"Fai più forza." "Devi avere una forza incredibile per sollevare quel peso." Sono frasi che utilizzano il vocabolo FORZA come esercizio dei muscoli. 

Se dobbiamo rompere un sasso con un martello, maggiore è la forza che esercitiamo, prima riusciamo nell'intento.

Sui libri troviamo scritto che "la forza è la causa capace di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo o di deformare il corpo stesso". Semplificando potremo dire:

La forza è una azione che si esercita su un corpo (oggetto) e che tende (non è detto che riesca) a spostarlo, ad accelerarlo, a frenarlo, a cambiare la sua direzione o a modificare il suo aspetto fisico.

Esercitando una forza su un libro possiamo: spostarlo, aprirlo, sfogliarlo, ruotarlo, sollevarlo, piegarlo, strapparlo... La stessa forza può produrre tutti questi effetti diversi? 

Innanzitutto vediamo come si può misurare e qual è la sua unità di misura.

Prendiamo come riferimento una molla. Tutti sappiamo che la molla si può comprimere o tirare e poi lasciandola libera, torna esattamente com'era prima di aver subito la deformazione. La molla è ELASTICA. Se l'allunghiamo troppo si deforma in modo permanente e diventa inutilizzabile. 

In commercio ci sono tantissime molle: alcune si allungano facilmente, altre con difficoltà, altre ancora, con la nostra forza, non riusciamo a smuoverle.

Ecco trovata una relazione 

Si può costruire uno strumento formato da una molla, si applica una forza e si ottiene un allungamento o una compressione misurabile in mm.

Nell'esperimento però non abbiamo applicato una forza ma un PESO. Se rifletti... il PESO è la FORZA esercitata dalla Terra su tutti i corpi e quindi non abbiamo commesso errori. Ma se il PESO è una FORZA, abbiamo già l'unità di misura: il Kg.

L'unità di misura della FORZA è il Kg.

Per costruire uno strumento per misurare la forza si potrebbe utilizzare una molla, ma prima occorre verificare se l'allungamento o la compressione sono regolari e proporzionali. Cioè, per esempio, se con un peso unitario la molla si allunga di 3 cm, con 2 pesi unitari si allunga di 6 cm e con tre pesi unitari si allunga di 9 cm.

E' necessario fare degli esperimenti in laboratorio con una molla, variando i pesi applicati e registrando gli allungamenti. 
Riporto i dati ricavati da www.scuolamediacoletti.it/laboratori/scientifico dove gli alunni hanno effettuato questa esperienza usando come pesi unitari dei bulloni.

Gli alunni hanno fermato la molla ad una estremità, all'altra hanno fissato un indice e un gancio. Hanno fatto in modo che l'indice si spostasse su una scala millimetrata, poi hanno agganciato 1,2,3...bulloni e ogni volta hanno registrato la lunghezza in cm indicata dall'indice.

Hanno poi riportato i dati su dei diagrammi cartesiani. Analizziamo quello ricavato dalla media dei valori ottenuti.

Sull'asse verticale è riportato l'allungamento in cm, su quello orizzontale il numero di bulloni agganciati all'estremità della molla.
Come vedi si avvicina ad una retta e questo vuol dire che l'allungamento è DIRETTAMENTE PROPORZIONALE alla forza applicata (peso dei bulloni).




Sempre gli stessi alunni hanno analizzato l'allungamento di un elastico.

Anche in questo caso hanno riportato i dati su un diagramma cartesiano. 

Come vedi l'allungamento aumenta, aumentando il numero di bulloni agganciati, ma in modo poco regolare. La linea non è una retta e quindi l'allungamento non è proporzionale al peso applicato.

CONCLUSIONE: possiamo utilizzare la molla per costruire uno strumento per misurare la forza ma non l'elastico.

Quando frequenterai la scuola superiore studierai che Robert Hooke nel 1675 formulò la legge sul comportamento delle molle:

Forza = costante x allungamento

(l'allungamento della molla è direttamente proporzionale alla forza applicata e dipende dalla sua elasticità)

Esperimento: 
Utilizza una struttura di sostegno da laboratorio, una molla, una tavoletta di compensato, un ago e dei pesi (es. 200-400-600g...).

Sistema l'apparecchiatura come in figura. Collega l'ago all'estremità della molla aiutandoti col nastro adesivo, segna, in corrispondenza, una tacchetta sulla tavoletta e scrivi "zero".
Aggancia alla molla il primo peso (200g), aspetta che la molla sia fermi, segna la tacca "1" in corrispondenza dell'ago. Procedi nello stesso modo per i pesi rimanenti, segnando le tacche "2-3-4-5".

Misura esattamente le distanze  0-1, 0-2,.. 0-5 e riporta i dati su un diagramma cartesiano. Sull'asse verticale riporta l'allungamento in mm e su quello orizzontale il peso applicato.

Ottieni una linea retta perché l'allungamento della molla è proporzionale alla forza applicata (peso) e l'inclinazione ti dice il valore della costante di elasticità della molla.


Nel diagramma cartesiano:     
 allungamento  (mm)                        Forza (grammi)
               6                                                          200
              12                                                         400
              18                                                         600
              24                                                         800
              30                                                        1000


L'allungamento si può ricavare moltiplicando la forza per 0,03 (valore costante).  


Possiamo dunque costruire degli strumenti di misura della forza formati da una o più molle: I DINAMOMETRI  (dal greco dynamis "forza" e metron "misura").

La struttura sostiene una molla, una scala graduata, un indice, e il "punto" in cui si applica la forza.

(disegno in sezione. 

Si vede la molla agganciata al cilindro graduato che scorre dentro un altro cilindro.)

Ogni dinamometro ha la sua PORTATA: cioè il valore massimo misurabile. Se si applica una forza superiore alla portata si rischia di danneggiare lo strumento perché si compromette l'elasticità della molla. Tutte le molle hanno un limite di elasticità superato il quale la deformazione della molla non rispetta più la proporzionalità e se la forza è eccessiva la deformazione diventa permanente.

Distinguiamo ancora tra dinamometri digitali e analogici.

Il dinamometro analogico ha un indice che si muove su una scala graduata lineare

dinamometri da laboratorio

o circolare

(portata 200 kg)

Il dinamometro digitale indica la misura della forza su un display numerico.

Tutti questi dinamometri funzionano A TRAZIONE, cioè la forza o le forze cercano di allungare la molla. Esistono anche dinamometri A COMPRESSIONE, dove la forza comprime la molla.

(questo è specifico per misurare la forza esercitata dalla mano)

(questo misura il peso degli oggetti)

(dinamometro pesapersone)

Fin qui abbiamo abbiamo affermato che il PESO è una forza e pertanto l'unità di misura della forza è il Kg. 

Ma nel 1960 venne adottato il NEWTON, dalla Conférence générale des poids et mesures, come unità di misura della forza e definito come la quantità di forza necessaria per accelerare la massa di 1kg di 1 metro al secondo quadrato.

Il NEWTON è anche unità di peso perché il peso è la forza che agisce tra un corpo e la Terra a causa della gravità. Una massa di 1 Kg in prossimità della superficie terrestre ha un peso di 9,81 Newton.

(Questo discorso ti può sembrare  difficile. Per semplicità, con le dovute approssimazioni possiamo dire che sulla Terra:

                                    la forza di 1Kg equivale a 9,81 Newton

                                    la forza di 1 Newton equivale a 0,102 Kg)

Il simbolo del Newton è N.

(Devi ricordarti la differenza tra Peso e Massa!)

Comunemente si dice:

                        Il peso della cartella è 8 Kg.

                        Il peso del libro di Matematica è 340 g.

                        Il peso della mia bicicletta è 9,2 Kg.

Tutte queste espressioni si riferiscono alla forza di attrazione della Terra sui corpi, e sono chiare, precise.

Se, invece, affermiamo:

                         Sul libro è applicata una forza di 5 Kg.

L'espressione rimane vaga anche se il valore della forza è specificato chiaramente: 5 Kg.

Perché? 

Perché la forza di 5 Kg può essere applicata in qualsiasi punto del libro e in qualsiasi direzione.

E' necessario indicare:

- il punto dove viene applicata la forza;

- la direzione della forza (retta che passa per il punto di applicazione);

- il verso (su una direzione ci sono sempre due versi);

- l'intensità della forza (numero seguito dall'unità di misura).

In questo caso cambia l'intensità della forza. La lunghezza della "freccia" (VETTORE) è proporzionale al valore dell'intensità.

Pur mantenendo la stessa intensità gli effetti possono cambiare: in alcuni casi l'oggetto non si muove, in altri si solleva, si sposta o si deforma.

Perché nel caso del peso basta usare semplicemente il valore dell'intensità?

Perché la forza peso si applica sempre nel BARICENTRO dei corpi, la direzione è la retta che passa per il baricentro e il centro della Terra e il verso è il centro della Terra.


Schema di funzionamento di una bilancia dinamometrica

Come vedi il piatto, sul quale si appoggia il materiale da pesare, da una parte è appoggiato alla struttura, dall'altra è agganciato a due aste ancorate ad una piastra sulla quale sono fissate due molle. Caricando il piatto, le aste tirano verso il basso le molle (trazione). Con la piastra si sposta anche un'asta dentata (cremagliera) che muove una ruota dentata unita a un indice. L'indice ruota sulla scala graduata segnando il valore del peso.

Caricando il piatto però non si ottiene sempre lo stesso peso! Perché?

Perché dipende dal punto in cui si appoggia l'oggetto.

Intuitivamente puoi capire che l'oggetto posizionato in P1 esercita una forza di TRAZIONE T minore sulla molla rispetto alla posizione P2 e P3.
E' necessario pertanto appoggiare gli oggetti da pesare in un punto preciso del piatto:

La figura rappresenta una possibile soluzione: 
il piatto superiore, sul quale si appoggiano gli oggetti da pesare è saldato nel punto A al piatto inferiore (leva). L'oggetto può essere posizionato in qualsiasi punto del piatto superiore che a sua volta trasferisce la forza peso sempre nel punto A del piatto inferiore.

E per finire...

Ernst Mach criticò  l'idea, a suo avviso metafisica, che le forze siano le cause del moto: solo i corpi possono influire sullo stato di moto di altri corpi e difficilmente si può pensare che la forza, un concetto astratto, possa.

(Wikipedia)