angoli

1) Costruzione di un angolo della stessa ampiezza di uno dato.

Si abbia un angolo V da riprodurre con esattezza.

Segna un punto V' (vertice dell'angolo) e traccia una semiretta.

Apri il compasso a piacere (circa 3-4 cm), punta in V, traccia un arco che taglia i lati dell'angolo in 1-2, con la stessa apertura punta in V' e traccia un arco che taglia la semiretta in 3.

Apri il compasso 1-2, punta in 3, traccia un arco che taglia il precedente in 4. A partire da V' traccia la semiretta che passa in 4. L'angolo V' ha la stessa ampiezza di V.

2) Assegnato un angolo qualsiasi (V), tracciare una semiretta (BISETTRICE) che lo divida in due parti uguali. 

Apri il compasso a piacere (3-4cm), punta in V e traccia un arco che taglia i lati in 1-2.

Punta il compasso rispettivamente in 1 e in 2, con apertura circa 1-2, traccia due archi che si intersecano in 3.

Traccia la semiretta che, a partire dal vertice, passa in 3. Questa semiretta è la bisettrice dell'angolo.

3) Disegna un angolo di 60°

Disegna una semiretta con origine A. Apri il compasso a piacere (3-4 cm), punta in A, traccia un arco che taglia la semiretta in 1. Con la stessa apertura punta in 1 e taglia l'arco precedente in 2. Disegna la semiretta di origine A che passa in 2. L'angolo ha ampiezza 60°.

4) Disegna un angolo di 120°.

Procedi come nel caso precedente. Ottenuto il punto 2, con la stessa apertura di compasso, punta in 2 e taglia l'arco in 3. Disegna la semiretta di origine A che passa in 3. L'angolo ha ampiezza 120°.

5) Divisione di un angolo retto in tre angoli uguali

Sia A l'angolo retto

Apri il compasso a piacere (3-4 cm), punta in A, traccia un arco che taglia i lati dell'angolo in 1 e 2.

Con la stessa apertura di compasso, punta rispettivamente in 1 e in 2 e traccia gli archi che tagliano il precedente in 3-4.

A partire dal vertice A traccia le due semirette che passano in 3 e in 4. I tre angoli ottenuti hanno la stessa ampiezza. 

Ricorda che questa costruzione si può applicare solo all'angolo retto.

quadratura del cerchio

La quadratura del cerchio.

Assegnato un cerchio si deve costruire un quadrato di area equivalente.

Il problema risale alle origini della geometria, e ha tenuto occupati i matematici per secoli. Fu solo nel 1882 che venne provata, in modo rigoroso, l'impossibilità di trovare una soluzione.

Questo non implica che sia impossibile costruire un quadrato la cui area si approssimi molto da vicino a quella del cerchio dato. Vediamo una costruzione possibile.

Disegna una circonferenza di centro O.

Traccia il diametro verticale AB.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A.

Apri il compasso AO (raggio) e riporta tre volte tale lunghezza sulla perpendicolare determinando il punto C.

Con la stessa apertura (raggio) punta il compasso in B, traccia l'arco ODS poi punta in D e traccia OBS.

Unisci I punti O-S con un segmento. Apri il compasso AB, punta in C e traccia un arco come in figura.

Apri il compasso AC, punta in B, traccia un arco che taglia il precedente in1 poi traccia la retta che passa in B-1 e taglia il segmento OS in T.

Unisci T con C. Il segmento TC è lungo quanto la semicirconferenza (semicirconferenza rettificata).

Traccia un retta, apri il compasso TC e riporta tale segmento sulla retta.

Apri il compasso AO (raggio del cerchio), punta in T e riporta tale lunghezza sulla retta.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di OC.

Punta il compasso in M con apertura MC, traccia una semicirconferenza.

Costruisci la parallela passante per T alla retta verticale (oppure la perpendicolare in T al segmento OC)

Traccia tale retta che taglia la circonferenza in F.

Costruisci il quadrato di lato TF 

(apri il compasso TF, punta in T e traccia l'arco in D, 

poi punta rispettivamente in D e in F e determina E).

Il quadrato TDEF ha l'area equivalente a quella del cerchio di partenza. 

Puoi verificarlo calcolando le due aree dopo aver misurato attentamente il raggio del cerchio e il lato del quadrato.

perpendicolare ad un segmento

1)Dato il segmento AB, costruisci la perpendicolare al suo punto medio M.

Punta il compasso in A con apertura qualsiasi, purché maggiore della metà di AB, traccia un arco sopra e uno sotto al segmento.

Con la stessa apertura di compasso, punta in B e taglia i due archi in 1 e 2.

Traccia la retta perpendicolare passante per i punti 1 e 2.

M è il punto medio del segmento.

2) Se non hai spazio a sufficienza sotto al segmento, puoi utilizzare la costruzione seguente.

Con apertura di compasso, superiore alla metà del segmento, punta in A e traccia un arco, come in figura.

Con la stessa apertura, punta in B e taglia l'arco in 1.

Con apertura di compasso almeno doppia, punta in A e in B, traccia due archi che si intersecano in 2.

Traccia la retta passante in 1 e in 2, perpendicolare al segmento nel suo punto medio M.

2) Costruisci la perpendicolare al punto C del segmento AB.

prolunga il segmento

Punta il compasso in C, con apertura di circa 3 cm, traccia due archi che tagliano la retta in 1 e 2.

Punta il compasso in 1, con apertura maggiore di 1C, traccia un arco, poi punta in 2 con la stessa apertura, traccia un altro arco che interseca il primo.

traccia la retta passante per i punti di intersezione degli archi che è perpendicolare al segmento.

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Se non hai spazio sufficiente, sotto al segmento, puoi costruire la perpendicolare in questo modo:

3) Costruzione della perpendicolare al segmento AB, passante per il punto C, esterno.

Prolunga il segmento.

Punta il compasso in C, con apertura maggiore della distanza di C dal segmento e traccia un arco che taglia la retta in 1 e 2.

Punta il compasso in 1, con apertura maggiore della metà di 1-2, traccia un arco in basso. Con la stessa apertura punta in 2 e traccia un arco che interseca il primo in 3.

Traccia la retta passante per C e 3, perpendicolare al segmento.

3a) Costruzione della perpendicolare al segmento AB, passante per il punto P, esterno.

Sia AB il segmento e P il punto esterno, dove deve passare la perpendicolare al segmento.

Punta il compasso in A, con apertura AP, traccia un arco.

Punta il compasso in B con apertura BP, traccia l'arco che taglia il precedente in 1 e P.

Traccia la retta passante per P e 1 che è perpendicolare al segmento.

4a) Costruzione della perpendicolare all'estremo del segmento AB.

Segna un punto C esterno al segmento, come in figura.

Punta il compasso in C con apertura CA, traccia la circonferenza.

Traccia il diametro passante in 1-C

La semiretta passante nei punti A  D è perpendicolare al segmento.

4b) Costruzione della perpendicolare all'estremo del segmento AB.

Con apertura di compasso "a piacere", circa 3 cm, punta prima in A, poi in 1 e traccia due archi che si intersecano in 2.

Traccia la semiretta passante per i punti 1  2.

Sempre con la stessa apertura di compasso (1-A), punta in 2, traccia l'arco che taglia la semiretta in 3.

La semiretta passante nei punti A  3 è perpendicolare al segmento

4c) Costruzione della perpendicolare all'estremo del segmento AB.

Apri il compasso "a piacere", circa 3 cm, punta in A, traccia la semicirconferenza che taglia il segmento in 1.

Sempre con la stessa apertura di compasso, punta in 1, traccia l'arco in 2.

Sempre con la stessa apertura di compasso, punta in 2, traccia l'arco in 3.

Sempre con la stessa apertura di compasso, punta in 3, traccia l'arco in 4.

La semiretta passante per i punti A  4 è perpendicolare al segmento.

4d) Costruzione della perpendicolare all'estremo del segmento AB.

Costruiamo la perpendicolare all'estremo A del segmento. Prolunga il segmento dalla parte di A.

Apri il compasso circa 3 cm, punta in A, traccia una semicirconferenza in che taglia il segmento in 1 - 2.

Apri il compasso circa 1-2, punta prima in 1 poi in 2, traccia due archi che si intersecano in 3.

Traccia la retta passante per 3 - A, che è perpendicolare al segmento.