rettangolo aureo

Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui misure sono basate sulla proporzione aurea.
Assegnata la base del rettangolo è necessario trovare la "sezione aurea" e poi procedere a costruire la figura.

La proporzione aurea: a : b = b : (a-b)

Segui le istruzioni del post "sezione aurea" e...

punta il compasso in B con apertura BR e traccia un arco.

Con la stessa apertura di compasso, punta in A e traccia un arco che taglia la perpendicolare in F.

Con apertura di compasso AB, punta in F e taglia l'arco in E.

Unisci i punti ABEF, vertici del rettangolo aureo.

Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo è descritto per la prima volta da Euclide nella proposizione 2.11 degli "ELEMENTI".

Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà all'altezza del rettangolo.
Si trova poi il punto medio del lato di base e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato  e si traccia un arco che interseca il prolungamento della base. (da Wikipedia)

Costruisci la perpendicolare all'estremo A del segmento AB (lato del quadrato).

Punta il compasso in A con apertura AB, traccia un arco che taglia la perpendicolare in D.

Con la stessa apertura di compasso, punta in B e traccia un arco.

Sempre con la stessa apertura di compasso, punta in D, traccia un arco che taglia il precedente in C.

 Unisci i punti ABCD, vertici del quadrato.

Costruisci la perpendicolare che taglia AB nel punto medio M.

Punta il compasso in M con apertura MC, traccia un arco che taglia il prolungamento di AB in E.

Prolunga il lato DC.

Con apertura di compasso AB, punta in D e traccia un arco che taglia il prolungamento di DC in F.

Unisci i punti AEFD, vertici del RETTANGOLO AUREO.

La Sezione Aurea

La sezione aurea è un rapporto geometrico e numerico proporzionale che intercorre fra due parti nelle quali un segmento è diviso.

E’ una proporzione geometrica che fin dall’antichità classica è stata usata, in architettura e nei manufatti, poiché è considerata elemento di armonia proporzionale, ed  è stata ricavata dall’armonia proporzionale che si trova in tanti elementi della natura.

Dato un segmento (AC), si ottiene una sezione aurea quando il tratto più corto (BC) sta al tratto più lungo (AB) come il tratto più lungo (AB) sta al segmento intero (AC).

In sintesi la proporzione è così espressa: 

BC : AB = AB : AC

Come si può ottenere graficamente la sezione aurea?

Disegna un segmento di qualsiasi lunghezza.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A

Costruisci la perpendicolare al punto medio M

Punta il compasso in A con apertura AM e traccia un arco 

che taglia la perpendicolare in C

Unisci CB

Punta il compasso in C con apertura CA e traccia un arco che taglia CB in S

Punta il compasso in B con apertura BS e traccia un arco che taglia AB in R.

Il punto R corrisponde alla sezione aurea:

AB : BR = BR : AR

Sei in grado di calcolare qual é il valore del rapporto AB/BR o BR/AR?

e il valore del rapporto BR/AB o AR/BR?

Se scrivi la serie di Fibonacci  (la serie in cui ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti 1  1  2  3  5   8  13 ecc.) e consideri due termini consecutivi (esclusi i primi) scrivendoli in forma frazionaria (es. 8/13 ; 13/8), calcolando i rapporti, noti qualche analogia con la sezione aurea?

Costruisci una serie di quadrati, secondo lo schema, rispettando la serie di Fibonacci.

In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune; come si vede dall'immagine il procedimento dei quadrati di Fibonacci crea invece lati sempre esprimibili tramite numeri interi, il che significa che il loro rapporto sarà sempre un numero razionale.

(da Wikipedia)

Considerando 1 il lato del quadrato, l'apertura del compasso che punta nel punto medio risulta, applicando il teorema di Pitagora:

.

Considerando che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione pari a ½ del lato, il lato maggiore costruito misurerà complessivamente:

Pentagono regolare - costruzioni

a) Costruzione del pentagono regolare, inscritto in una circonferenza di raggio r. (metodo a)

Disegna una circonferenza di centro O e raggio r

Traccia il diametro orizzontale AB

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AB (apri il compasso con raggio maggiore di AO, punta rispettivamente in A e in B e traccia due archi che si intersecano)

Traccia la retta perpendicolare ad AB che interseca la circonferenza in C

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AO, 

che interseca il diametro in M

(apri il compasso più della metà di AO 

e punta rispettivamente in A e in O) 

Punta il compasso in M e con apertura MO traccia la circonferenza

Traccia il segmento NM  che interseca la circonferenza.

Punta il compasso in N con apertura NH e traccia un arco che interseca la circonferenza in E e F

Unisci i punti EF

Con apertura di compasso EF punta in E e determina il punto D, poi in F e determina il punto G

Unisci i punti C D E F G, vertici del pentagono.

b) Costruzione del pentagono regolare, inscritto in una circonferenza di raggio r. (metodo b)

Disegna una circonferenza di centro O e raggio r.

Traccia il diametro orizzontale AB.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AB (Apri il compasso con raggio maggiore di AO, punta rispettivamente in A e in B e traccia due coppie di archi che si intersecano)

Traccia la perpendicolare ad AB, che interseca la circonferenza in C.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AO che interseca il diametro in M.
(Apri il compasso più della metà di AO e punta rispettivamente in A e in O)

Punta il compasso in M con apertura MC e traccia un arco che interseca il diametro in N.

Punta il compasso in C con apertura CN e traccia un arco che interseca la circonferenza nei punti D e G.

Con la stessa apertura (CN) punta il compasso in D e traccia un arco in E poi punta il compasso in G e traccia un arco in F.

Unisci i punti C, D, E, F, G vertici del pentagono.

c) Costruzione del pentagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r. (metodo c)

Disegna la circonferenza di centro O e raggio r.Traccia il diametro orizzontale AB.

Costruisci la perpendicolare al punto medio O di AB.

Con apertura di compasso uguale al raggio, punta in H e traccia l'arco che interseca la circonferenza in 1.

Sempre con apertura uguale al raggio, punta in A e traccia l'arco che interseca la circonferenza in 2.

Punta il compasso in 1, con apertura 1-2, traccia l'arco che interseca il diametro verticale in 3.

La misura A-3 è il lato del pentagono regolare inscritto.

Apri il compasso A-3, punta in C e traccia due archi che intersecano la circonferenza in D e G.

Con la stessa apertura punta in D e poi in G e determina i punti E e F sulla circonferenza.

Unisci i punti C D E F G, vertici del pentagono regolare inscritto.

d) Costruzione del pentagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r. (metodo d)

Disegna una circonferenza di raggio r.

Traccia un diametro AB.

Costruisci la perpendicolare al punto medio O del diametro AB.

Determina il punto medio di AO. (Con apertura di compasso uguale al raggio, punta in A e traccia l'arco che interseca la circonferenza; traccia la retta passante per i due punti di intersezione che taglia in diametro in M)

Con apertura di compasso MC, punta in M e traccia la circonferenza che taglia il diametro in V e N.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di VO, che taglia la circonferenza in D ed E.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di ON, che taglia la circonferenza in H e F.

Unisci i punti D E F B H, vertici del pentagono regolare inscritto.

e) Costruzione del pentagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r. (metodo e)

Disegna la circonferenza di centro O e raggio r.

Traccia un diametro AB.

Costruisci la perpendicolare al diametro, passante per il punto medio O.

Costruisci la perpendicolare al punto medio di 1-O.

Traccia il segmento MA.

Costruisci la bisettrice dell'angolo OMA, che taglia il diametro in H.

Punta il compasso in S, con apertura SH, traccia la circonferenza che taglia la retta in V e W.

Con apertura di compasso VH, punta in W e traccia l'arco che taglia la circonferenza in 6.

Traccia la retta passante in 6 H, che taglia la circonferenza in C e F.

Con apertura di compasso CA, punta in C e traccia l'arco in D poi punta in F e traccia l'arco in E.

Unisci i punti A C D E F, vertici del pentagono regolare inscritto.

f) Costruzione del pentagono regolare assegnato il lato l.

Disegna un segmento AB lungo quanto il lato.

Traccia la retta passante per AB.

Costruisci la perpendicolare per il punto B. 

(Punta il compasso in B, con apertura 3-4 cm e traccia un arco che taglia la retta in 1-2.

Con apertura di compasso maggiore di 1-B, punta rispettivamente in 1 e in 2 e traccia due archi che si intersecano in 3.

Traccia la perpendicolare passante per 3-B.)

Costruisci la perpendicolare al punto medio di AB.

Punta il compasso in B con apertura BA, traccia l'arco che interseca la perpendicolare in 4.

Punta il compasso in M con apertura M-4, traccia un arco che taglia la retta in 5.

Punta il compasso in A con apertura A-5, traccia un arco verso l'alto che interseca la perpendicolare per M nel punto D.

Con la stessa apertura di compasso punta in B, traccia un arco verso il basso, a partire da D, che taglia la retta in 6.

Apri il compasso quanto AB, punta in D, traccia una semicirconferenza che taglia gli ultimi due archi in C ed E.

Unisci i punti A B C D E, vertici del pentagono regolare.