costruzione trapezi rettangoli

Il trapezio è una figura piana formata da quattro lati, due dei quali paralleli, detti basi (base maggiore e base minore).

Il trapezio rettangolo ha due angoli, adiacenti le basi, retti.

1) Costruzione del trapezio rettangolo, assegnata la base maggiore AB, la base minore CD e l'altezza.

Disegna la base maggiore AB

Costruisci la perpendicolare al segmento per l'estremo A.

Con apertura di compasso uguale all'altezza, punta in A, traccia un arco in D, sulla perpendicolare. Con la stessa apertura, punta in B, traccia un arco, in alto.

Apri il compasso AB, punta in D, traccia l'arco che taglia il precedente in 4.

Traccia la semiretta D-4. Apri il compasso quanto la base minore, punta in D, traccia l'arco in C.

Unisci i punti ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

2) Costruzione del trapezio rettangolo assegnata la base minore CD,  l'altezza e il lato obliquo BC.


Segna il punto A, traccia una semiretta con questa origine.

Costruisci la perpendicolare alla semiretta per A.

Con apertura di compasso uguale all'altezza, punta in A, traccia l'arco sulla perpendicolare in D. Segna il punto 1, a caso sulla semiretta. Con la stessa apertura di compasso, punta in 1, traccia l'arco, in alto.

Apri il compasso A-1, punta in D, traccia l'arco che taglia il precedente in 2.

Apri il compasso quanto la base minore assegnata, punta in D, traccia l'arco in C.

Apri il compasso quanto il lato obliquo assegnato, punta in C, traccia l'arco sulla semiretta in B.

Unisci i punti ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

3) Costruzione del trapezio rettangolo assegnata la base maggiore AB,  l'altezza e la diagonale minore AC.


Disegna la base maggiore AB.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A di AB.

Con apertura di compasso uguale all'altezza, punta in A, traccia l'arco sulla perpendicolare in D. Con la stessa apertura, punta in B, traccia un arco in alto.

Apri il compasso A-B, punta in D, traccia l'arco che interseca il precedente in 1.

Apri il compasso quanto la diagonale minore assegnata, punta in A, traccia l'arco in C.

Unisci i punti ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

4) Costruzione del trapezio rettangolo assegnata la base minore CD,  l'altezza e la diagonale maggiore BD.


Segna un punto A. Traccia una semiretta con questa origine.

Costruisci la perpendicolare alla semiretta, in A.

Con apertura di compasso uguale all'altezza, traccia un arco sulla perpendicolare in D. Segna un punto 1, a caso, sulla semiretta. Con la stessa apertura di compasso, punta in 1, traccia l'arco, in alto.

Apri il compasso A-1, punta in D, traccia l'arco che interseca il precedente in 2. Unisci D-2.

Apri il compasso quanto la base minore assegnata, punta in D, traccia l'arco in C.

Apri il compasso quanto la diagonale maggiore assegnata, punta in D, traccia l'arco sulla semiretta di base in B.

Unisci i punti ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

5) Costruzione del trapezio rettangolo assegnata la base maggiore AB, la base minore CD e il lato obliquo BC.


Disegna la base maggiore AB.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A di AB.

Apri il compasso quanto la base minore assegnata, punta in A, traccia un arco in 1 su AB. Con la stessa apertura, punta in 2, traccia un arco, a destra.

Apri il compasso A-2, punta in 1, traccia un arco che interseca il precedente in 3.

Apri il compasso quanto il lato obliquo, punta in B, traccia l'arco che taglia 1-3 in C.

Apri il compasso 1-C, punta in A, traccia l'arco sulla perpendicolare in D.

Unisci i punti ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

6) Costruzione del trapezio rettangolo assegnata la base minore CD, il lato obliquo BC e l'angolo BCD.

Sia α l'angolo BCD. Disegna il lato obliquo BC.

Trasporta l'angolo α in C. Apri il compasso circa 3 cm, punta nel vertice di α, traccia un arco che taglia i lati in 1 - 2. Con la stessa apertura, punta in C, traccia l'arco in 3.

Apri il compasso 1-2, punta in 3, traccia l'arco che interseca il precedente in 4.

Segna, a caso, un punto N sulla semiretta C-4. Apri il compasso C-N, punta in B, traccia l'arco, in basso.

Apri il compasso CB, punta in N, traccia l'arco che interseca il precedente in L.

Apri il compasso quanto la base minore assegnata, punta in C, traccia l'arco su CN in D.

Costruisci la perpendicolare a CD in D. Questa perpendicolare interseca la semiretta B-L in A.

Unisci i punti ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

6b) Costruzione trapezio rettangolo, assegnata la diagonale minore AC (6 cm) della stessa lunghezza del lato obliquo BC. La diagonale AC forma con la base maggiore AB un angolo di 45°.

Disegna la semiretta di origine A (vertice del trapezio). Costruisci la perpendicolare per A.

Costruisci la bisettrice dell'angolo retto A.

Apri il compasso quanto la diagonale minore, punta in A e traccia l'arco in C.

Punta il compasso in C, con apertura CA, traccia la semicirconferenza che interseca la semiretta in B (vertice del trapezio).

AB è la base maggiore del trapezio e BC il lato obliquo, uguale alla diagonale AC.

Costruisci la parallela alla base AB. Punta il compasso in A, con apertura AC, traccia l'arco in 3. Con apertura 3-C, punta in A, traccia l'arco in 4.

Traccia la semiretta C-4 parallela ad AB, che interseca la perpendicolare in D.

Unisci ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

6c) Costruzione del trapezio rettangolo assegnata la diagonale minore AC (5,5 cm) della stessa lunghezza del lato obliquo BC.

Disegna la diagonale minore AC

Punta il compasso in C, con apertura CA, traccia una semicirconferenza. Sulla semicirconferenza fissa un punto B (a piacere), vertice di base del trapezio.

Costruisci la parallela alla base maggiore AB, passante per C. Punta il compasso in A, con apertura AC, traccia l'arco in 1. Con apertura 1-C, punta in A, traccia l'arco in 2.

Unisci C-2, dove sarà la base minore del trapezio.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A di AB.

La perpendicolare taglia C2 in D. Unisci ABCD, vertici del trapezio.

Cambiando la posizione del punto B, cambiano le dimensioni del trapezio rettangolo ma AC=BC.

7) Costruzione del trapezio rettangolo formato da un triangolo equilatero di lato l, unito a mezzo triangolo equilatero, con il lato l in comune.

Questi sono due triangoli equilateri col lato l in comune. La figura piana è un rombo.

Questa figura piana è formata dall'unione di un triangolo equilatero di lato l + mezzo triangolo equilatero, ma i due triangoli NON hanno il lato l in comune. La figura NON è un trapezio.

Questa figura è formata dall'unione di un triangolo equilatero + mezzo triangolo equilatero col lato l in comune. E' un trapezio rettangolo perché l'angolo in D misura 90° (CD bisettrice, mediana e altezza del triangolo), l'angolo in C misura 90° (60° triangolo equilatero + 30° mezzo triangolo equilatero). Essendo CD perpendicolare a DA e a CB, i lati DA e CB sono paralleli).

Anche in questo caso la figura soddisfa le richieste, per gli stessi motivi del caso precedente. 

Scegliamo di costruire questa!

Disegna il lato AB del triangolo equilatero (6 cm).

Con apertura di compasso AB, traccia due archi che si intersecano in C e prolungane uno.

Con la stessa apertura di compasso (AB), punta in C, traccia l'arco AE.

I due triangoli ABC e ACE sono equilateri perché hanno tutti i lati con la stessa lunghezza.

Costruisci l'asse del lato CE.

Nel triangolo equilatero l'asse, la mediana, la bisettrice e l'altezza sono coincidenti, quindi ACD è mezzo triangolo equilatero.

Unisci i punti ABCD, vertici del triangolo rettangolo.

Disegna le due diagonali che si intersecano in O.

Punta il compasso in O con apertura OD, traccia una circonferenza che taglia BC. Punta il compasso nel punto di intersezione e con lo stesso raggio traccia un'altra circonferenza. Come vedi la seconda circonferenza passa in B. Hai diviso BD in tre segmenti di uguale lunghezza e in particolare:

OB = 2 DO

Il segmento OB sulla diagonale è doppio di OD.

Fai la stessa cosa sull'altra diagonale. Anche in questo caso Il segmento AO sulla diagonale è doppio di OC.

8) Costruzione del trapezio rettangolo formato da un quadrato di lato l, unito a mezzo quadrato (tagliato secondo la diagonale) con il lato l in comune.

Disegna il lato del quadrato AH (6 cm).

Costruisci la perpendicolare all'estremo A di AH.

Con apertura di compasso AH, punta in A, traccia un arco che taglia la perpendicolare in D.

Sempre con la stessa apertura di compasso (AH), punta in D e in H, traccia due archi che si intersecano in C.

Unisci AHCD, vertici del quadrato. Prolunga il lato AH.

Punta il compasso in H, con apertura HC, traccia l'arco CB.

Unisci ABCD, vertici del trapezio rettangolo formato dal quadrato AHCD + mezzo quadrato HBC.

Traccia le due diagonali che si intersecano in O.

Come nell'esercizio precedente verifica che BO, sulla diagonale maggiore, è di lunghezza doppia di OD.

Anche AO, sulla diagonale minore è di lunghezza doppia di OC.

Potresti verificare se nei trapezi rettangoli le diagonali hanno sempre questa proprietà. Costruisci un qualsiasi trapezio rettangolo e controlla se il punto di intersezione delle diagonali origina segmenti uno doppio dell'altro, come nei due casi precedenti.

9) Costruzione del trapezio rettangolo le cui diagonali siano perpendicolari e si intersechino formando segmenti nella proporzione 2:1, la cui base maggiore sia doppia della minore.

Traccia una retta qualsiasi passante per O sulla quale sarà la diagonale maggiore.

Costruisci la retta perpendicolare per O, sulla quale sarà la diagonale minore.

Segna un punto C su s, con il compasso aperto OC, riporta due volte la distanza a partire da O. 

OA = 2 OC

AC sarà la diagonale maggiore.

Costruisci la perpendicolare per il punto medio M di AC.

Punta il compasso in M, con apertura MA, traccia la semicirconferenza che interseca la retta r in D.

Traccia i lati AC e DC, perpendicolari tra loro perché formano un angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso diametro.

Con apertura di compasso DC, punta in A, traccia un arco. Con apertura DA, punta in C, traccia l'arco che interseca il precedente in 2.

Traccia la semiretta A-2 che interseca la retta r in B.

Unisci i punti ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

Dobbiamo verificare se il trapezio ha le proprietà richieste. 

A2 = DC per costruzione.

Punta il compasso in 2, con apertura 2-A, traccia la semicirconferenza e verifica se passa in B.

In tal caso:

AB = 2 CD (come richiesto)

La diagonale AC, per costruzione, ha:

AO = 2 OC

Verifica se anche la diagonale BD rispetta le richieste.

Punta il compasso in O con apertura OD e controlla se:

BO = 2 OD

10) Costruzione del trapezio rettangolo assegnata l'altezza AH relativa al lato obliquo BC, che divide BC in due segmenti BH e HC assegnati.

(es. altezza AH=6cm, BH=3,5cm, HC=1,5cm)

Disegna il lato obliquo BC formato da BH=3,5cm + HC=1,5cm.

Prolunga BC e costruisci la perpendicolare per H.

Apri il compasso quanto l'altezza AH (6cm), punta in H, traccia l'arco che interseca la perpendicolare in A. Unisci poi AB.

Con apertura di compasso BC, punta in A, traccia un arco; in alto.

Con apertura BA, punta in C, traccia l'arco che interseca il precedente in 1. Traccia la semiretta C-1, parallela ad AB.

Costruisci la perpendicolare all'estremo A di AB, che interseca in D la semiretta C-1.

Unisci ABCD, vertici del trapezio rettangolo.

il paradosso di David Hilbert

Il Grand Hotel

David Hilbert,  nato a Königsberg il 23 gennaio 1862 –  morto a Gottinga il 14 febbraio 1943, fu uno dei massimi matematici tedeschi.

Un Grand Hotel ha un numero infinito di camere: camera 1, camera 2, camera 3, .........

Essendo molto confortevole risulta sempre completo. Nonostante ciò l'albergo possiede la caratteristica di poter ospitare qualunque viaggiatore sopraggiunga, senza prenotazione. Il direttore, molto scaltro, per sistemare gli ospiti inattesi, invita i clienti, sempre ben disposti e pazienti, a lasciare la propria camera per spostarsi in un'altra.

Una sera, tardi, arriva un viaggiatore e l'hotel come il solito è completo. 

Il direttore invita i clienti a lasciare la propria camera di numero n per spostarsi nella camera n+1.

Quindi:
l'ospite della camera 1 va nella 2;
l'ospite della camera 2 va nella 3;
l'ospite della camera 3 va nella 4;
..............................................
l'ospite della camera n va nella n+1.

In questo modo si libera la camera 1 che viene occupata dal viaggiatore.

Se l'hotel avesse avuto un numero finito di camere, l'ultimo cliente avrebbe dovuto lasciare l'albergo. Ma siccome aveva un numero infinito di stanze, c'era posto per tutti.

La sera dopo si presentarono 5 viaggiatori. Era molto tardi, ma il direttore , cortesemente, invitò gli ospiti a spostarsi di 5 numeri di camera.

Quindi:
l'ospite della camera 1 va nella 6;
l'ospite della camera 2 va nella 7;
l'ospite della camera 3 va nella 8;
...............................................
l'ospite della camera n va nella n+5.


In questo modo si liberano 5 camere per i 5 viaggiatori.

La sera dopo arrivò un pullman enorme con un numero infinito di viaggiatori. Il direttore si fece pensieroso, ma non si perse d'animo è trovò la soluzione. Cortesemente invitò tutti gli ospiti a passare nella camera di numero doppio rispetto a quella occupata.

   

Quindi:

l'ospite della camera 1 va nella 2;

l'ospite della camera 2 va nella 4;

l'ospite della camera 3 va nella 6;

........................................................

l'ospite della camera 23 va nella 46;

..........................................................

l'ospite della camera n va nella nx2.

In questo modo si liberano infinite camere per i viaggiatori. I vecchi clienti occuparono tutte le camere pari e i nuovi clienti tutte le camere dispari.

Il giorno dopo la situazione si semplificò perché tutti gli ospiti che occupavano le camere di numero pari se ne andarono lasciando l'albergo mezzo vuoto.

Il direttore diventò di cattivo umore perché con un albergo metà vuoto diventava difficile raggiungere il bilancio preventivo. Di quale bilancio si trattasse non era dato sapere anche perché l'hotel aveva un numero infinito di clienti che gli pagavano un infinito numero di camere (dispari).  Ma il direttore preferì occupare tutte le camere e pertanto invitò gli ospiti ad occupare il numero di camera ottenuto dal numero della camera in cui si trovavano, sommato di uno e diviso per 2. Di tutti i clienti, quello che occupava la camera 1 fu l'unico a non cambiare posto.

Quindi:

l'ospite della camera 1 resta nella 1;

l'ospite della camera 3 va nella 2;

l'ospite della camera 5 va nella 3;

........................................................

l'ospite della camera 23 va nella 12;

..........................................................

l'ospite della camera n va nella (n+1):2.

Il giorno dopo la situazione diventò tragica.

Infiniti hotel con infiniti clienti dovettero chiudere i battenti e il Grand Hotel dovette ospitarli tutti in cinque giorni.

Il direttore non sapeva come risolvere la questione. Come poteva spostare gli ospiti da un numero infinito di hotel - ognuno dei quali con infiniti ospiti - in un unico hotel che era già pieno?

Una soluzione doveva pur esserci.


Pensò di spostare tutti gli ospiti del Grand Hotel nelle infinite stanze del primo piano. Al secondo piano avrebbe sistemato gli infiniti ospiti dell'hotel numero 2, al terzo gli infiniti ospiti dell'hotel numero 3 .... all'infinitesimo piano gli infiniti ospiti dell'hotel infinitesimo. Divisi per piano gli ospiti avrebbero mantenuto lo stesso numero di camera che avevano nell'hotel originario.
Prima di tutto occorreva assegnare un numero ad ogni hotel riservando l'1 al Grand Hotel. Ogni ospite veniva distinto da una coppia di numeri: il primo indicava l'hotel di provenienza, il secondo la stanza occupata in quell'hotel.

Mentre si beveva una birra, soddisfatto dell'idea, gli venne un terribile dubbio:
se gli ospiti mantenevano il numero originale di camera in ogni piano, nel Grand Hotel ci sarebbe stato un infinito numero di camere con lo stesso numero. Un hotel non può avere due camere con lo stesso numero!


Bisognava ricominciare daccapo!


Nel Grand Hotel l'atmosfera si fece pesante, nessuno osava rivolgere la parola al direttore che camminava avanti e indietro nella hall, e gesticolava con le mani.
Il capocuoco ebbe una grande idea, pensò di far uso delle progressioni geometriche. Così, con la dovuta cautela,  suggerì al direttore di sistemare tutti gli ospiti del Grand Hotel nelle camere numero 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... (numeri che formano la progressione geometrica di base 2). Gli ospiti del secondo Hotel nelle camere numero 3, 9, 27, 81 ... (progressione geometrica di base 3) e così via.
Il direttore si fece ancora più scuro in volto e domandò:
- E dovremmo usare la progressione in base 4 per il terzo Hotel?
- Naturalmente - rispose il capocuoco.
- Bestia che sei!!!  le camere 4, 16, 32, 64..... sono già occupate!!!
Il capocuoco si ritirò nelle cucine e per un bel po' di tempo non volle più sentir parlare di numeri.


L'idea delle progressioni geometriche non era malvagia e il direttore cominciò a rifletterci sopra. Si potevano usare, come base delle progressioni, solo i numeri primi.
Gli ospiti del Grand Hotel avrebbero occupato le camere 2, 4, 8, 16, 32, 64....
Gli ospiti del secondo Hotel le camere 3, 9, 27, 81, 273, 819....
Gli ospiti del terzo Hotel le camere       5, 25, 125, 625.....
Gli ospiti del quarto Hotel le camere    7, 49, 343, 2401...


- E non succederà anche in questo caso che qualche stanza abbia due ospiti? 
Si chiese il direttore.


Fortuna volle che la camera numero 865.234.654.876.987.234 del Grand Hotel fosse occupata da un famoso matematico. Il direttore lo fece chiamare e con delicatezza gli espose il problema.


- Se si prendono due numeri primi, nessuna delle potenze intere positive di uno può equivalere a quelle dell'altro. Se p e q sono numeri primi, con p ≠ q, e m e n sono numeri naturali,  p^m  ≠ qⁿ.
Gli rispose il matematico.


Poi, come tutti i matematici, propose una nuova soluzione al problema. Si trattava di assegnare a tutti gli ospiti una coppia di numeri (come già visto):  il primo (n) che indicava l'hotel di provenienza, il secondo (m) la stanza occupata in quell'hotel e di sistemare gli ospiti nella nuova camera 2^m 3ⁿ


Anche in questo caso non si avrebbero camere con più ospiti perché se m ≠ p e n≠ q, allora 2^m 3ⁿ   ≠  2^p 3^q

^{Numeri assegnati agli ospiti dei vari hotel (il primo corrisponde al numero dell'Hotel, il secondo alla camera occupata in quell'hotel)}

^{Per ogni ospite si applica la formula suggerita dal matematico per determinare il numero di camera.}

^{Calcolando le potenze si ottiene il:}

<sup>Era una soluzione. Il direttore ringraziò il matematico e ricominciò a camminare avanti e indietro nella hall, scuro in volto. 
- I matematici sono matematici!
Bofonchiò il direttore.
- Cosa capiscono di cose pratiche? della gestione di un hotel?
- Se faccio come mi propone ho più camere vuote che camere occupate. E' la mia rovina!


Si potevano spostare gli infiniti ospiti del Grand Hotel nella camera di numero doppio rispetto a quella occupata. Cosi tutte le camere pari sarebbero state occupate. poi si potevano assegnare le restanti secondo le progressioni geometriche  aventi come base i numeri primi corrispondenti agli infiniti hotel.


Gli ospiti del Grand Hotel avrebbero occupato le camere pari di numero 2, 4, 6, 8, 10, 12....
Gli ospiti del secondo Hotel avrebbero occupato le camere numero 3n</sup>

^{(dove n è il numero di camera occupato nel primo Hotel) 3, 9, 27, 81...}

^{Gli ospiti del terzo Hotel avrebbero occupato le camere numero 5n
(dove n è il numero di camera occupato nel secondo Hotel) 5, 25, 125, 625...}

^{Era una soluzione! ma le camere vuote facevano impazzire il direttore che adesso camminava avanti e indietro nel cortile dell'Hotel anche se da alcune ore scendeva una pioggerellina fitta fitta.
Il capo del personale, preso a compassione, cominciò a cercare sulla rete qualcuno che potesse dare una mano al direttore, prima che il suo sistema nervoso crollasse del tutto. 
Fu verso le quattro del mattino che arrivò una risposta:}


1) tabulare i dati in caselle dove il numero di riga indica l'Hotel di provenienza e il numero di colonna la camera occupata in quell'Hotel (ogni cliente è individuato da una coppia di numeri).


Il contabile cominciò a compilare la solita tabella:

2) Sistemare gli ospiti nelle camere del Grand Hotel secondo i quadrati a partire da 1.


Il direttore arrivò trafelato. Gli spiegarono il messaggio poco comprensibile e aspettarono la reazione. 
Cosa voleva dire "secondo i quadrati?"
Tutti i tentativi per ottenere chiarimenti in rete furono inutili.
Nuovamente si chiamò il matematico della camera numero 865.234.654.876.987.234 anche se l'orologio segnava le quattro e venti del mattino.
Fu al giardiniere che venne un'idea, diciamo artistica.

Partendo dalla cella in alto a sinistra dove è collocato l'ospite (1,1) si assegna la camera numero 1 del Grand Hotel.

^{Poi si prosegue con le celle che formano il secondo quadrato. 
L'ospite (1,2) si colloca nella camera numero 2,
l'ospite  (2,2) si colloca nella camera numero 3,
l'ospite  (2,1) si colloca nella camera numero 4.}

^{Si prosegue con le celle che formano il terzo quadrato.} 

^{L'ospite (1,3) si colloca nella camera numero 5,}

^{l'ospite  (2,3) si colloca nella camera numero 6,}

^{l'ospite  (3,3) si colloca nella camera numero 7,}

^{l'ospite  (3,2) si colloca nella camera numero 8,}

^{l'ospite  (3,1) si colloca nella camera numero 9.}

Si continua così all'infinito seguendo i quadrati.


Il direttore riprese colore e il suo respiro si fece più regolare. Effettivamente tutto sembrava funzionare, le camere venivano assegnate con ordine e non rimanevano stanze senza ospiti.
Ma...
Come poteva un ospite di un albergo n che occupava la camera m sapere quale camera gli sarebbe stata assegnata al Grand Hotel senza dover aspettare la successione dei quadrati?
Il matematico, che fino a quel momento aveva taciuto, ascoltando la spiegazione del giardiniere si fece serio e prima che il direttore aprisse bocca affermò:
- Consideriamo l'ospite che occupa la stanza m dell'Hotel n, 
se m è maggiore o uguale a n, occuperà la camera numero

(m-1)² +n,

se m è minore di n, occuperà la camera numero

n² - m + 1.

Per esempio: l'ospite della camera 157 dell'Hotel numero 237 sarà trasferito nella camera:  237² - 157 + 1 = 56013;
l'ospite della camera 432 dell'Hotel numero 86 sarà trasferito nella camera: (432-1)² + 86 = 185847.


Era la soluzione!!!!


Non sappiamo come festeggiarono, ma è sicuro che, anche se albeggiava, tutti andarono a riposare, pensando al grande lavoro che li aspettava.