Quadrature di figure piane

QUADRATURE

Sono costruzioni con riga e compasso mediante le quali si costruisce un quadrato di area equivalente a quella di una figura data.

a) Quadratura del rettangolo

Sia il rettangolo ABCD

Prolunga il lato AD. Punta il compasso in D, con apertura DC, traccia un arco che interseca la retta in D'.

DC = DD'

Costruisci la perpendicolare per il punto medio O del segmento AD'

AO = OD'

Prolunga il lato CD.

Punta il compasso in O con apertura OA, traccia la semicirconferenza che interseca la retta in C'.

AO = OD' = a

Il quadrato costruito su C'D ha area equivalente a quella del rettangolo ABCD perché:

Area ABCD = BC x CD
                      = (a + b) x (a - b)        perché CD = DD'
                      = a² - b²
                      considerato il triangolo rettangolo ODC' e applicando Pitagora
                      = c²

b) Quadratura del triangolo

Sia ABC un triangolo qualunque

Costruisci l'altezza CH

Costruisci la perpendicolare a CH passante per il punto medio M.

Con apertura di compasso HA, punta in M e traccia l'arco in F.
Con apertura HB, punta in M e traccia l'arco in E.

Unisci ABEF. 

Il rettangolo ottenuto ha la stessa area del triangolo ABC perché ha la stessa base AB e l'altezza HM pari alla metà dell'altezza HC del triangolo.
E' necessario ora quadrare il triangolo, come visto in precedenza (punto a).

c) Tutti i poligoni sono quadrabili

Come sai, tutti i poligoni si possono suddividere in triangoli.

Al punto b abbiamo dimostrato che tutti i triangoli sono quadrabili.  
Dimostriamo ora che assegnati due quadrati di lato a e b è possibile costruire il quadrato equivalente di lato c.

Costruisci il triangolo rettangolo avente i cateti a e b.

Per il teorema di Pitagora, il quadrato di lato c è equivalente alla somma dei quadrati di lato a e b.

Pertanto tutti i poligoni scomponibili in triangoli sono quadrabili.

c) Quadratura del cerchio

Quadrare il cerchio significa costruire il quadrato equivalente utilizzando esclusivamente riga e compasso.
Trovare la soluzione richiederebbe la costruzione del numero 


Vedi "Quadratura del cerchio - a"
http://tecnorevelli.blogspot.it/search/label/Quadratura%20del%20cerchio%20-%20a

Assonometria cavaliera (basi)

ASSONOMETRIA CAVALIERA

E' così denominata perché attribuita a Bonaventura Cavalieri, insigne matematico allievo di Galileo Galilei.

Viene anche detta assonometria FRONTALE o MILITARE.

(vedi anche: http://www.currarini.eu/UD_3a/assc_3.pdf)

L'oggetto o il solido viene rappresentato con una faccia parallela al piano di osservazione e la disposizione dei tre assi è la seguente:

Per convenzione gli spigoli paralleli all'asse x e y vengono rappresentati con le misure reali mentre per gli spigoli paralleli all'asse z le misure sono dimezzate.

Per tracciare l'asse z, inclinato di 45°, costruisci la bisettrice dell'angolo retto.

NB. linee parallele.

Se devi tracciare la parallela ad AB, passante per P,

sistema una squadretta sulla linea,

appoggia l'altra squadretta alla prima,

in modo che sia possibile far scorrere R fino al punto P.

Mantieni saldamente ferma la squadretta S, sposta la R fino a P e poi traccia la parallela.

Esercizio
Rappresenta il solido in Assonometria Cavaliera in scala 1:1

esecuzione:

OA = 20 : 2 = 10 mm

Parallela all'asse y per A.

Parallela all'asse z per B.

Parallela all'asse x per A.

Parallela all'asse z per B.

BE = 30 : 2 = 15 mm.

Parallele all'asse y per B e per E.

Parallela all'asse x per C.

Parallela all'asse z per F.

Parallela all'asse x per G.

Parallela all'asse z per H.

LM = 10 mm
MN = 20 mm
Parallele all'asse z per M e N.

MP = 30 : 2 = 15 mm

Parallela all'asse x per P.

Parallela all'asse y per M.

Ripassa la matita sugli spigoli in vista avendo cura di non tracciare linee doppie.

Con le matite colorate puoi colorare le facce del solido.


ESERCIZIO n.2

ESERCIZIO N.3